Распространение неопределенности
В статистике распространение неопределенности (или распространение ошибки ) — это влияние переменных неопределенностей основанной (или ошибок , точнее случайных ошибок ) на неопределенность на них функции . Когда переменные представляют собой значения экспериментальных измерений, они имеют неопределенности из-за ограничений измерения (например, точности прибора ), которые распространяются из-за комбинации переменных в функции.
Неопределенность u может быть выражена разными способами.Ее можно определить по абсолютной ошибке Δ x . Неопределенности также можно определить с помощью относительной ошибки (Δx ) / x , которая обычно выражается в процентах.Чаще всего неопределенность величины выражается количественно через стандартное отклонение , σ которое представляет собой положительный квадратный корень из дисперсии . Значение величины и ее ошибка тогда выражаются как интервал x ± u . Однако наиболее общий способ охарактеризовать неопределенность — указать ее распределение вероятностей .Если распределение вероятностей переменной известно или можно предположить, теоретически можно получить любую ее статистику. В частности, можно вывести доверительные пределы для описания области, в которой может быть найдено истинное значение переменной. Например, доверительные пределы 68% для одномерной переменной, принадлежащей нормальному распределению, составляют примерно ± одно стандартное отклонение σ от центрального значения x , что означает, что область x ± σ будет соответствовать истинному значению примерно в 68% случаев.
Если неопределенности коррелируют , то ковариацию необходимо учитывать . Корреляция может возникать из двух разных источников. Во-первых, ошибки измерения могут быть коррелированы. Во-вторых, когда основные значения коррелируют среди населения, неопределенности в средних группах будут коррелировать. [1]
В общем контексте, когда нелинейная функция изменяет неопределенные параметры (коррелированные или нет), стандартными инструментами для распространения неопределенности и вывода результирующего распределения вероятностей/статистики величин являются методы выборки из семейства методов Монте-Карло . [2] Для очень обширных данных или сложных функций расчет распространения ошибки может быть очень трудоемким, поэтому суррогатная модель [3] или параллельных вычислений стратегия [4] [5] [6] может быть необходимо.
В некоторых частных случаях расчет распространения неопределенности можно выполнить с помощью упрощенных алгебраических процедур. Некоторые из этих сценариев описаны ниже.
Линейные комбинации [ править ]
Позволять — набор из m функций, которые представляют собой линейные комбинации переменные с комбинационными коэффициентами :
Также пусть матрица дисперсии-ковариации x = ( x 1 , ..., x n ) обозначается через и обозначим среднее значение через :
Тогда дисперсионно-ковариационная матрица f выражением определяется
В обозначениях компонентов уравнение
Это наиболее общее выражение распространения ошибки от одного набора переменных к другому. Когда ошибки по x некоррелированы, общее выражение упрощается до
Общие выражения для скалярной функции f немного проще (здесь a — вектор-строка):
Каждый ковариационный член может быть выражено через коэффициент корреляции к , так что альтернативное выражение для дисперсии f имеет вид
В случае, если переменные в x некоррелированы, это еще больше упрощается до
В простом случае одинаковых коэффициентов и дисперсий находим
Для среднего арифметического, , результатом является стандартная ошибка среднего :
Нелинейные комбинации [ править ]
Когда f представляет собой набор нелинейных комбинаций переменных x , можно выполнить распространение по интервалам , чтобы вычислить интервалы, которые содержат все согласованные значения переменных. В вероятностном подходе функция f первого порядка обычно должна быть линеаризована путем приближения к разложению в ряд Тейлора , хотя в некоторых случаях можно вывести точные формулы, которые не зависят от разложения, как в случае с точной дисперсией произведений . [7] Расширение Тейлора будет:
То есть якобиан функции используется для преобразования строк и столбцов дисперсионно-ковариационной матрицы аргумента.Обратите внимание, что это эквивалентно матричному выражению для линейного случая с .
Упрощение [ править ]
Пренебрежение корреляциями или предположение о независимых переменных приводит к общей формуле среди инженеров и ученых-экспериментаторов для расчета распространения ошибок - формуле дисперсии: [9]
Важно отметить, что эта формула основана на линейных характеристиках градиента и, следовательно, это хорошая оценка стандартного отклонения пока достаточно малы. В частности, линейное приближение должно быть близко к внутри окрестности радиуса . [10]
Пример [ править ]
Любая нелинейная дифференцируемая функция, , двух переменных, и , можно расширить как
В частном случае, что , , . Затем
Когда переменные и некоррелированы, . Затем
Предостережения и предупреждения [ править ]
Оценки ошибок для нелинейных функций смещены из-за использования разложения в усеченный ряд. Степень этого смещения зависит от характера функции. Например, смещение ошибки, рассчитанной для log(1+ x ), увеличивается с увеличением x , поскольку разложение до x является хорошим приближением только тогда, когда x близок к нулю.
Для сильно нелинейных функций существует пять категорий вероятностных подходов к распространению неопределенности; [12] см . в разделе «Количественная оценка неопределенности» подробности .
Взаимный и смещенный взаимный [ править ]
В частном случае обратного или взаимного , где следует стандартному нормальному распределению , результирующее распределение является обратным стандартным нормальным распределением, и определимая дисперсия не существует. [13]
Однако в несколько более общем случае смещенной обратной функции для Следуя общему нормальному распределению, то статистика среднего и дисперсии действительно существует в смысле главного значения , если разница между полюсом и среднее значение имеет реальную ценность. [14]
Соотношения [ править ]
Соотношения также проблематичны; нормальные приближения существуют при определенных условиях.
Примеры формул [ править ]
В этой таблице показаны дисперсии и стандартные отклонения простых функций действительных переменных. со стандартными отклонениями ковариация и корреляция Действительные коэффициенты и предполагаются точно известными (детерминированными), т.е.
В правых столбцах таблицы и являются ожидаемыми значениями , и — значение функции, рассчитанное по этим значениям.
Функция | Дисперсия | Стандартное отклонение |
---|---|---|
[15] [16] | ||
[17] | ||
[18] | ||
[18] | ||
[19] | ||
Для некоррелированных переменных ( , ) выражения для более сложных функций можно получить путем объединения более простых функций. Например, повторное умножение, при условии отсутствия корреляции, дает
Для случая у нас также есть выражение Гудмана [7] для точной дисперсии: для некоррелированного случая это
корреляции различия Влияние на
Если A и B некоррелированы, их разница A − B будет иметь большую дисперсию, чем любая из них. Возрастающая положительная корреляция ( ) уменьшит дисперсию разности, приближаясь к нулевой дисперсии для идеально коррелирующих переменных с одинаковой дисперсией . С другой стороны, отрицательная корреляция ( ) еще больше увеличит дисперсию разницы по сравнению с некоррелированным случаем.
Например, самовычитание f = A − A имеет нулевую дисперсию. только если переменная полностью автокоррелирована ( ). Если А некоррелировано, тогда выходная дисперсия в два раза превышает входную дисперсию, И если A совершенно антикоррелирован, тогда входная дисперсия увеличивается в четыре раза на выходе, (уведомление для f = aA − aA в таблице выше).
Пример расчета [ править ]
Функция обратного тангенса [ править ]
Мы можем рассчитать распространение неопределенности для функции обратного тангенса в качестве примера использования частных производных для распространения ошибки.
Определять
Следовательно, наша распространяемая неопределенность равна
Измерение сопротивления [ править ]
Практическое применение — это , котором измеряют ток I используя и напряжение V R на резисторе , чтобы определить сопротивление R в , Ома закон эксперимент = V / I .
Учитывая измеряемые переменные с неопределенностями I ± σ I и V ± σ V и пренебрегая их возможной корреляцией, неопределенность вычисленной величины σ R составляет:
См. также [ править ]
- Точность и точность
- Автоматическая дифференциация
- Личность Бьенеме
- Дельта-метод
- Снижение точности (навигация)
- Ошибки и остатки в статистике
- Экспериментальный анализ неопределенности
- Интервальный конечный элемент
- Неопределенность измерения
- Численная стабильность
- Анализ границ вероятности
- Количественная оценка неопределенности
- Случайно-нечеткая переменная
- Дисперсия § Распространение
Ссылки [ править ]
- ^ Киршнер, Джеймс. «Набор инструментов для анализа данных № 5: анализ неопределенностей и распространение ошибок» (PDF) . Сейсмологическая лаборатория Беркли . Калифорнийский университет . Проверено 22 апреля 2016 г.
- ^ Крозе, ДП; Таймре, Т.; Ботев, З.И. (2011). Справочник по методам Монте-Карло . Джон Уайли и сыновья.
- ^ Ранфтл, Саша; фон дер Линден, Вольфганг (13 ноября 2021 г.). «Байесовский суррогатный анализ и распространение неопределенности» . Форум физических наук . 3 (1): 6. arXiv : 2101.04038 . дои : 10.3390/psf2021003006 . ISSN 2673-9984 .
- ^ Атанасова Е.; Гуров Т.; Караиванова А.; Ивановская, С.; Дурчова, М.; Димитров, Д. (2016). «О подходах к распараллеливанию архитектуры Intel MIC». Материалы конференции AIP . 1773 (1): 070001. Бибкод : 2016AIPC.1773g0001A . дои : 10.1063/1.4964983 .
- ^ Кунья-младший, А.; Насер, Р.; Сампайо, Р.; Лопес, Х.; Брейтман, К. (2014). «Количественная оценка неопределенности с помощью метода Монте-Карло в условиях облачных вычислений». Компьютерная физика. Коммуникации . 185 (5): 1355–1363. arXiv : 2105.09512 . Бибкод : 2014CoPhC.185.1355C . дои : 10.1016/j.cpc.2014.01.006 . S2CID 32376269 .
- ^ Лин, Ю.; Ван, Ф.; Лю, Б. (2018). «Генератор случайных чисел для крупномасштабного параллельного моделирования Монте-Карло на FPGA». Журнал вычислительной физики . 360 : 93–103. Бибкод : 2018JCoPh.360...93L . дои : 10.1016/j.jcp.2018.01.029 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Гудман, Лео (1960). «О точном отклонении продуктов». Журнал Американской статистической ассоциации . 55 (292): 708–713. дои : 10.2307/2281592 . JSTOR 2281592 .
- ^ Очоа1, Бенджамин; Белонги, Серж «Распространение ковариации для управляемого сопоставления». Архивировано 20 июля 2011 г. в Wayback Machine.
- ^ Ку, Х.Х. (октябрь 1966 г.). «Замечания по использованию формул распространения ошибок» . Журнал исследований Национального бюро стандартов . 70C (4): 262. doi : 10.6028/jres.070c.025 . ISSN 0022-4316 . Проверено 3 октября 2012 г.
- ^ Клиффорд, А.А. (1973). Многомерный анализ ошибок: справочник по распространению ошибок и расчетам в многопараметрических системах . Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0470160558 . [ нужна страница ]
- ^ Соч, Йорам (07.07.2020). «Дисперсия линейной комбинации двух случайных величин» . Книга статистических доказательств . Проверено 29 января 2022 г.
- ^ Ли, Ш.; Чен, В. (2009). «Сравнительное исследование методов распространения неопределенности для задач типа черного ящика». Структурная и междисциплинарная оптимизация . 37 (3): 239–253. дои : 10.1007/s00158-008-0234-7 . S2CID 119988015 .
- ^ Джонсон, Норман Л.; Коц, Сэмюэл; Балакришнан, Нараянасвами (1994). Непрерывные одномерные распределения, Том 1 . Уайли. п. 171. ИСБН 0-471-58495-9 .
- ^ Лекомт, Кристоф (май 2013 г.). «Точная статистика систем с неопределенностями: аналитическая теория стохастических динамических систем первого ранга». Журнал звука и вибрации . 332 (11): 2750–2776. дои : 10.1016/j.jsv.2012.12.009 .
- ^ «Краткий обзор распространения ошибок» (PDF) . п. 2. Архивировано из оригинала (PDF) 13 декабря 2016 г. Проверено 4 апреля 2016 г.
- ^ «Распространение неопределенности посредством математических операций» (PDF) . п. 5 . Проверено 4 апреля 2016 г.
- ^ «Стратегии оценки дисперсии» (PDF) . п. 37 . Проверено 18 января 2013 г.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Харрис, Дэниел К. (2003), Количественный химический анализ (6-е изд.), Macmillan, p. 56, ISBN 978-0-7167-4464-1
- ^ «Учебное пособие по распространению ошибок» (PDF) . Футхиллский колледж . 9 октября 2009 года . Проверено 1 марта 2012 г.
Дальнейшее чтение [ править ]
- Бевингтон, Филип Р.; Робинсон, Д. Кейт (2002), Сокращение данных и анализ ошибок для физических наук (3-е изд.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-119926-1
- Форнасини, Паоло (2008), Неопределенность физических измерений: введение в анализ данных в физической лаборатории , Springer, стр. 161, ИСБН 978-0-387-78649-0
- Мейер, Стюарт Л. (1975), Анализ данных для ученых и инженеров , Wiley, ISBN 978-0-471-59995-1
- Перальта, М. (2012), Распространение ошибок: как математически прогнозировать ошибки измерений , CreateSpace
- Руо, М. (2013), Вероятность, статистика и оценка: распространение неопределенностей в экспериментальных измерениях (PDF) (краткая редакция)
- Тейлор, младший (1997), Введение в анализ ошибок: исследование неопределенностей в физических измерениях (2-е изд.), Университетские научные книги
- Ван, СМ; Айер, Хари К. (7 сентября 2005 г.). «О поправках высшего порядка за распространение неопределенностей». Метрология . 42 (5): 406–410. дои : 10.1088/0026-1394/42/5/011 . ISSN 0026-1394 . S2CID 122841691 .
Внешние ссылки [ править ]
- Подробное обсуждение измерений и распространения неопределенности, объясняющее преимущества использования формул распространения ошибок и моделирования Монте-Карло вместо простой арифметики значимости.
- ГУМ , Руководство по выражению неопределенности измерений
- EPFL. Введение в распространение ошибок , вывод, значение и примеры Cy = Fx Cx Fx'
- пакет неопределенностей — программа/библиотека для прозрачного выполнения расчетов с неопределенностями (и корреляциями ошибок).
- пакет soerp — программа/библиотека Python для прозрачного выполнения вычислений *второго* порядка* с неопределенностями (и корреляциями ошибок).
- Объединенный комитет руководств по метрологии (2011 г.). JCGM 102: Оценка данных измерений - Приложение 2 к «Руководству по выражению неопределенности в измерениях» - Расширение на любое количество выходных величин (PDF) (Технический отчет). JCGM . Проверено 13 февраля 2013 г.
- Калькулятор неопределенности. Распространение неопределенности для любого выражения.