Jump to content

Распространение неопределенности

В статистике распространение неопределенности (или распространение ошибки ) — это влияние переменных неопределенностей основанной (или ошибок , точнее случайных ошибок ) на неопределенность на них функции . Когда переменные представляют собой значения экспериментальных измерений, они имеют неопределенности из-за ограничений измерения (например, точности прибора ), которые распространяются из-за комбинации переменных в функции.

Неопределенность u может быть выражена разными способами.Ее можно определить по абсолютной ошибке Δ x . Неопределенности также можно определить с помощью относительной ошибки (Δx ) / x , которая обычно выражается в процентах.Чаще всего неопределенность величины выражается количественно через стандартное отклонение , σ которое представляет собой положительный квадратный корень из дисперсии . Значение величины и ее ошибка тогда выражаются как интервал x ± u . Однако наиболее общий способ охарактеризовать неопределенность — указать ее распределение вероятностей .Если распределение вероятностей переменной известно или можно предположить, теоретически можно получить любую ее статистику. В частности, можно вывести доверительные пределы для описания области, в которой может быть найдено истинное значение переменной. Например, доверительные пределы 68% для одномерной переменной, принадлежащей нормальному распределению, составляют примерно ± одно стандартное отклонение σ от центрального значения x , что означает, что область x ± σ будет соответствовать истинному значению примерно в 68% случаев.

Если неопределенности коррелируют , то ковариацию необходимо учитывать . Корреляция может возникать из двух разных источников. Во-первых, ошибки измерения могут быть коррелированы. Во-вторых, когда основные значения коррелируют среди населения, неопределенности в средних группах будут коррелировать. [1]

В общем контексте, когда нелинейная функция изменяет неопределенные параметры (коррелированные или нет), стандартными инструментами для распространения неопределенности и вывода результирующего распределения вероятностей/статистики величин являются методы выборки из семейства методов Монте-Карло . [2] Для очень обширных данных или сложных функций расчет распространения ошибки может быть очень трудоемким, поэтому суррогатная модель [3] или параллельных вычислений стратегия [4] [5] [6] может быть необходимо.

В некоторых частных случаях расчет распространения неопределенности можно выполнить с помощью упрощенных алгебраических процедур. Некоторые из этих сценариев описаны ниже.

Линейные комбинации [ править ]

Позволять — набор из m функций, которые представляют собой линейные комбинации переменные с комбинационными коэффициентами :

или в матричной записи,

Также пусть матрица дисперсии-ковариации x = ( x 1 , ..., x n ) обозначается через и обозначим среднее значение через :

это внешний продукт .

Тогда дисперсионно-ковариационная матрица f выражением определяется

В обозначениях компонентов уравнение

читает

Это наиболее общее выражение распространения ошибки от одного набора переменных к другому. Когда ошибки по x некоррелированы, общее выражение упрощается до

где — дисперсия k -го элемента вектора x .Обратите внимание: хотя ошибки x могут быть некоррелированными, ошибки f в целом коррелируют; другими словами, даже если диагональная матрица, вообще-то полная матрица.

Общие выражения для скалярной функции f немного проще (здесь a — вектор-строка):

Каждый ковариационный член может быть выражено через коэффициент корреляции к , так что альтернативное выражение для дисперсии f имеет вид

В случае, если переменные в x некоррелированы, это еще больше упрощается до

В простом случае одинаковых коэффициентов и дисперсий находим

Для среднего арифметического, , результатом является стандартная ошибка среднего :

Нелинейные комбинации [ править ]

Когда f представляет собой набор нелинейных комбинаций переменных x , можно выполнить распространение по интервалам , чтобы вычислить интервалы, которые содержат все согласованные значения переменных. В вероятностном подходе функция f первого порядка обычно должна быть линеаризована путем приближения к разложению в ряд Тейлора , хотя в некоторых случаях можно вывести точные формулы, которые не зависят от разложения, как в случае с точной дисперсией произведений . [7] Расширение Тейлора будет:

где обозначает частную производную f -й переменной , k по i оцененную по среднему значению всех компонентов вектора x . Или в матричной записи :
где J — матрица Якобиана . Поскольку f 0 является константой, она не вносит вклад в ошибку по f. Таким образом, распространение ошибки следует линейному случаю, описанному выше, но с заменой линейных коэффициентов A ki и A kj на частные производные, и . В матричной записи [8]

То есть якобиан функции используется для преобразования строк и столбцов дисперсионно-ковариационной матрицы аргумента.Обратите внимание, что это эквивалентно матричному выражению для линейного случая с .

Упрощение [ править ]

Пренебрежение корреляциями или предположение о независимых переменных приводит к общей формуле среди инженеров и ученых-экспериментаторов для расчета распространения ошибок - формуле дисперсии: [9]

где представляет собой стандартное отклонение функции , представляет собой стандартное отклонение , представляет собой стандартное отклонение и так далее.

Важно отметить, что эта формула основана на линейных характеристиках градиента и, следовательно, это хорошая оценка стандартного отклонения пока достаточно малы. В частности, линейное приближение должно быть близко к внутри окрестности радиуса . [10]

Пример [ править ]

Любая нелинейная дифференцируемая функция, , двух переменных, и , можно расширить как

Если мы возьмем дисперсию с обеих сторон и воспользуемся формулой [11] для дисперсии линейной комбинации переменных
тогда мы получим
где - стандартное отклонение функции , стандартное отклонение , стандартное отклонение и это ковариация между и .

В частном случае, что , , . Затем

или
где это корреляция между и .

Когда переменные и некоррелированы, . Затем

Предостережения и предупреждения [ править ]

Оценки ошибок для нелинейных функций смещены из-за использования разложения в усеченный ряд. Степень этого смещения зависит от характера функции. Например, смещение ошибки, рассчитанной для log(1+ x ), увеличивается с увеличением x , поскольку разложение до x является хорошим приближением только тогда, когда x близок к нулю.

Для сильно нелинейных функций существует пять категорий вероятностных подходов к распространению неопределенности; [12] см . в разделе «Количественная оценка неопределенности» подробности .

Взаимный и смещенный взаимный [ править ]

В частном случае обратного или взаимного , где следует стандартному нормальному распределению , результирующее распределение является обратным стандартным нормальным распределением, и определимая дисперсия не существует. [13]

Однако в несколько более общем случае смещенной обратной функции для Следуя общему нормальному распределению, то статистика среднего и дисперсии действительно существует в смысле главного значения , если разница между полюсом и среднее значение имеет реальную ценность. [14]

Соотношения [ править ]

Соотношения также проблематичны; нормальные приближения существуют при определенных условиях.

Примеры формул [ править ]

В этой таблице показаны дисперсии и стандартные отклонения простых функций действительных переменных. со стандартными отклонениями ковариация и корреляция Действительные коэффициенты и предполагаются точно известными (детерминированными), т.е.

В правых столбцах таблицы и являются ожидаемыми значениями , и — значение функции, рассчитанное по этим значениям.

Функция Дисперсия Стандартное отклонение
[15] [16]
[17]
[18]
[18]
[19]

Для некоррелированных переменных ( , ) выражения для более сложных функций можно получить путем объединения более простых функций. Например, повторное умножение, при условии отсутствия корреляции, дает

Для случая у нас также есть выражение Гудмана [7] для точной дисперсии: для некоррелированного случая это

и поэтому мы имеем

корреляции различия Влияние на

Если A и B некоррелированы, их разница A B будет иметь большую дисперсию, чем любая из них. Возрастающая положительная корреляция ( ) уменьшит дисперсию разности, приближаясь к нулевой дисперсии для идеально коррелирующих переменных с одинаковой дисперсией . С другой стороны, отрицательная корреляция ( ) еще больше увеличит дисперсию разницы по сравнению с некоррелированным случаем.

Например, самовычитание f = A A имеет нулевую дисперсию. только если переменная полностью автокоррелирована ( ). Если А некоррелировано, тогда выходная дисперсия в два раза превышает входную дисперсию, И если A совершенно антикоррелирован, тогда входная дисперсия увеличивается в четыре раза на выходе, (уведомление для f = aA aA в таблице выше).

Пример расчета [ править ]

Функция обратного тангенса [ править ]

Мы можем рассчитать распространение неопределенности для функции обратного тангенса в качестве примера использования частных производных для распространения ошибки.

Определять

где — абсолютная неопределенность нашего измерения x . Производная f ( x ) по x равна

Следовательно, наша распространяемая неопределенность равна

где – абсолютная распространяемая неопределенность.

Измерение сопротивления [ править ]

Практическое применение — это , котором измеряют ток I используя и напряжение V R на резисторе , чтобы определить сопротивление R в , Ома закон эксперимент = V / I .

Учитывая измеряемые переменные с неопределенностями I ± σ I и V ± σ V и пренебрегая их возможной корреляцией, неопределенность вычисленной величины σ R составляет:

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Киршнер, Джеймс. «Набор инструментов для анализа данных № 5: анализ неопределенностей и распространение ошибок» (PDF) . Сейсмологическая лаборатория Беркли . Калифорнийский университет . Проверено 22 апреля 2016 г.
  2. ^ Крозе, ДП; Таймре, Т.; Ботев, З.И. (2011). Справочник по методам Монте-Карло . Джон Уайли и сыновья.
  3. ^ Ранфтл, Саша; фон дер Линден, Вольфганг (13 ноября 2021 г.). «Байесовский суррогатный анализ и распространение неопределенности» . Форум физических наук . 3 (1): 6. arXiv : 2101.04038 . дои : 10.3390/psf2021003006 . ISSN   2673-9984 .
  4. ^ Атанасова Е.; Гуров Т.; Караиванова А.; Ивановская, С.; Дурчова, М.; Димитров, Д. (2016). «О подходах к распараллеливанию архитектуры Intel MIC». Материалы конференции AIP . 1773 (1): 070001. Бибкод : 2016AIPC.1773g0001A . дои : 10.1063/1.4964983 .
  5. ^ Кунья-младший, А.; Насер, Р.; Сампайо, Р.; Лопес, Х.; Брейтман, К. (2014). «Количественная оценка неопределенности с помощью метода Монте-Карло в условиях облачных вычислений». Компьютерная физика. Коммуникации . 185 (5): 1355–1363. arXiv : 2105.09512 . Бибкод : 2014CoPhC.185.1355C . дои : 10.1016/j.cpc.2014.01.006 . S2CID   32376269 .
  6. ^ Лин, Ю.; Ван, Ф.; Лю, Б. (2018). «Генератор случайных чисел для крупномасштабного параллельного моделирования Монте-Карло на FPGA». Журнал вычислительной физики . 360 : 93–103. Бибкод : 2018JCoPh.360...93L . дои : 10.1016/j.jcp.2018.01.029 .
  7. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Гудман, Лео (1960). «О точном отклонении продуктов». Журнал Американской статистической ассоциации . 55 (292): 708–713. дои : 10.2307/2281592 . JSTOR   2281592 .
  8. ^ Очоа1, Бенджамин; Белонги, Серж «Распространение ковариации для управляемого сопоставления». Архивировано 20 июля 2011 г. в Wayback Machine.
  9. ^ Ку, Х.Х. (октябрь 1966 г.). «Замечания по использованию формул распространения ошибок» . Журнал исследований Национального бюро стандартов . 70C (4): 262. doi : 10.6028/jres.070c.025 . ISSN   0022-4316 . Проверено 3 октября 2012 г.
  10. ^ Клиффорд, А.А. (1973). Многомерный анализ ошибок: справочник по распространению ошибок и расчетам в многопараметрических системах . Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0470160558 . [ нужна страница ]
  11. ^ Соч, Йорам (07.07.2020). «Дисперсия линейной комбинации двух случайных величин» . Книга статистических доказательств . Проверено 29 января 2022 г.
  12. ^ Ли, Ш.; Чен, В. (2009). «Сравнительное исследование методов распространения неопределенности для задач типа черного ящика». Структурная и междисциплинарная оптимизация . 37 (3): 239–253. дои : 10.1007/s00158-008-0234-7 . S2CID   119988015 .
  13. ^ Джонсон, Норман Л.; Коц, Сэмюэл; Балакришнан, Нараянасвами (1994). Непрерывные одномерные распределения, Том 1 . Уайли. п. 171. ИСБН  0-471-58495-9 .
  14. ^ Лекомт, Кристоф (май 2013 г.). «Точная статистика систем с неопределенностями: аналитическая теория стохастических динамических систем первого ранга». Журнал звука и вибрации . 332 (11): 2750–2776. дои : 10.1016/j.jsv.2012.12.009 .
  15. ^ «Краткий обзор распространения ошибок» (PDF) . п. 2. Архивировано из оригинала (PDF) 13 декабря 2016 г. Проверено 4 апреля 2016 г.
  16. ^ «Распространение неопределенности посредством математических операций» (PDF) . п. 5 . Проверено 4 апреля 2016 г.
  17. ^ «Стратегии оценки дисперсии» (PDF) . п. 37 . Проверено 18 января 2013 г.
  18. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Харрис, Дэниел К. (2003), Количественный химический анализ (6-е изд.), Macmillan, p. 56, ISBN  978-0-7167-4464-1
  19. ^ «Учебное пособие по распространению ошибок» (PDF) . Футхиллский колледж . 9 октября 2009 года . Проверено 1 марта 2012 г.

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: b0e8f367328a271a2873c4e3f19e5602__1713803280
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/b0/02/b0e8f367328a271a2873c4e3f19e5602.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Propagation of uncertainty - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)