Интервальное распространение
 | Эта статья в значительной степени или полностью опирается на один источник . ( октябрь 2013 г. ) |
В числовой математике интервальное распространение или распространение интервальных ограничений — это проблема сжатия интервальных областей, связанных с переменными R, без удаления каких-либо значений, которые согласуются с набором ограничений (т. е. уравнений или неравенств). Его можно использовать для распространения неопределенностей в ситуации, когда ошибки представлены интервалами . [1] Интервальное распространение рассматривает проблему оценки как проблему удовлетворения ограничений .
Атомные подрядчики
[ редактировать ]Подрядчик, связанный с уравнением, включающим переменные x 1 ,..., x n, — это оператор, который сжимает интервалы [ x 1 ],..., [ x n ] (которые должны заключать в себе x i ) без удаления каких-либо значений переменных, соответствующих уравнению.
Подрядчик называется атомарным , если он не создан в составе других подрядчиков. Основная теория, которая используется для построения атомных контракторов, основана на интервальном анализе .
Пример . Рассмотрим, например, уравнение
который включает в себя три переменные x 1 , x 2 и x 3 .
Соответствующий подрядчик определяется следующими утверждениями
![{\displaystyle [x_{3}]:=[x_{3}]\cap ([x_{1}]+[x_{2}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/732528ad8bf9b28b0851b638dbf10a59704283c7)
![{\displaystyle [x_{1}]:=[x_{1}]\cap ([x_{3}]-[x_{2}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90c40d48a96a2a1d34be728721c0fc05e489cc11)
![{\displaystyle [x_{2}]:=[x_{2}]\cap ([x_{3}]-[x_{1}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da4cbddbe15d801c3de706a117942a6b45c30a00)
Например, если
![{\displaystyle x_{1}\in [-\infty,5],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2b6c7d96609b720e0839ff5bf0ead4beb92052c)
![{\displaystyle x_{2}\in [-\infty,4],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9db43b4901aa98257c1aeb8e476a9c28624a28e0)
![{\displaystyle x_{3}\in [6,\infty]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cce7f1c0b9268d4593fc1d12e2decc7590583b0)
подрядчик выполняет следующие расчеты
![{\displaystyle x_{3}=x_{1}+x_{2}\Rightarrow x_{3}\in [6,\infty ]\cap ([-\infty,5]+[-\infty,4]) =[6,\infty ]\cap [-\infty ,9]=[6,9].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f6f64a60a4628434b81fd529da46b17aceed9b1)
![{\displaystyle x_{1}=x_{3}-x_{2}\Rightarrow x_{1}\in [-\infty,5]\cap ([6,\infty ]-[-\infty,4]) =[-\infty ,5]\cap [2,\infty ]=[2,5].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8c564fe464fe6118e57fb401dab9eed8ea108b5)
![{\displaystyle x_{2}=x_{3}-x_{1}\Rightarrow x_{2}\in [-\infty,4]\cap ([6,\infty ]-[-\infty,5]) =[-\infty ,4]\cap [1,\infty ]=[1,4].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7974daac866a947d873a3bc8b5f75de76cf512e6)
Для других ограничений следует написать конкретный алгоритм реализации атомного подрядчика. Иллюстрацией является атомный контрактор, связанный с уравнением
представлена рисунками 1 и 2.
Разложение
[ редактировать ]Для более сложных ограничений следует выполнить декомпозицию на атомарные ограничения (т. е. ограничения, для которых существует атомарный подрядчик). Рассмотрим, например, ограничение
можно разложить на
Интервальные области, которые следует связать с новыми промежуточными переменными:
![{\displaystyle a\in [-\infty,\infty],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8578c13eeee2dabddbbe333f85eadb6df4a92bc)
![{\displaystyle b\in [-1,1],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d106e33944553d0c7a17e223ed20134e366cc985)
![{\displaystyle c\in [-\infty,0].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d50fb2d2dc32061898dab423a36c5825de4e241)
Распространение
[ редактировать ]Принцип интервального распространения заключается в вызове всех доступных атомарных подрядчиков до тех пор, пока не перестанет наблюдаться сокращение. [2] В результате теоремы Кнастера-Тарского процедура всегда сходится к интервалам, которые охватывают все возможные значения переменных. Формализация интервального распространения может быть осуществлена благодаря контрактной алгебре . Интервальное распространение быстро сходится к результату и позволяет решать проблемы, включающие несколько сотен переменных. [3]
Пример
[ редактировать ]Рассмотрим электронную схему, показанную на рисунке 3.
Предположим, что из разных измерений мы знаем, что
![{\displaystyle E\in [23В,26В]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/185b34b34288964ae81dda50bf6ab7c3ee78c353)
![{\displaystyle I\in [4A,8A]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5d1f323240d3a82e83cd95e8f22eaeb53cdb85d)
![{\displaystyle U_{1}\in [10В,11В]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab05c079717be65686ba5eab9377f233a24473b7)
![{\displaystyle U_{2}\in [14В,17В]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/410fd82a58749506ba8bcff3ba66ae1cd47bc4ed)
![{\displaystyle P\in [124W,130W]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/220fd970a4c0d720b155e032933d8a1d3fce49a1)
![{\displaystyle R_{1}\in [0\Omega,\infty]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7642fd80ec697592a4dfe9265c94ac4db791c82)
![{\displaystyle R_{2}\in [0\Omega,\infty].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd022b00e1abe16dc879ff97b5bd3cbaacb4092a)
Из схемы мы имеем следующие уравнения
После выполнения интервального распространения мы получаем
![{\displaystyle E\in [24В,26В]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43b5243705cb4b19efc88d7ca30f5e1235595127)
![{\displaystyle I\in [4.769A,5.417A]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c53048434ae992e64734b24fcb414b43dcca599d)
![{\displaystyle U_{2}\in [14В,16В]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edea49c3f113c9d892db0b508d29f3bb4c847acf)
![{\displaystyle R_{1}\in [1,846\Омега, 2,307\Омега]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99d6b870dd044ad6d088e56b3619679522144583)
![{\displaystyle R_{2}\in [2.584\Омега, 3.355\Омега].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b35f1f8750041d48e87e90456a7ec79fa49745f7)
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Жолен, Л.; Брамс, И.; Уолтер, Э. (2002). Интервальные методы нелинейной идентификации и робастного управления (PDF) . В материалах 41-й конференции IEEE по принятию решений и контролю (CDC).
- ^ Клири, Дж.Л. (1987). Логическая арифметика . Будущие вычислительные системы.
- ^ Жолен, Л. (2006). Локализация подводного робота с использованием распространения интервальных ограничений (PDF) . В материалах CP 2006.