Обратное распределение

Не путать с функцией обратного распределения .

В теории вероятностей и статистике обратное распределение — это распределение обратной величины случайной величины. Обратные распределения возникают, в частности, в байесовском контексте априорных распределений и апостериорных распределений для параметров масштаба . В алгебре случайных величин обратные распределения — это частные случаи класса распределений отношений , в которых случайная величина в числителе имеет вырожденное распределение .

Отношение к оригинальному дистрибутиву

В общем, учитывая распределение вероятностей случайной величины X со строго положительной поддержкой, можно найти распределение обратной величины Y = 1/ X . Если распределение X непрерывно ( с функцией плотности f ( x ) и кумулятивной функцией распределения F ( x ), то кумулятивная функция распределения G что y ) обратной величины находится, отмечая,

$G(y)=\Pr(Y\leq y)=\Pr \left(X\geq {\frac {1}{y}}\right)=1-\Pr \left(X<{\frac {1}{y}}\right)=1-F\left({\frac {1}{y}}\right).$

Тогда функция плотности Y находится как производная кумулятивной функции распределения:

$g(y)={\frac {1}{y^{2}}}f\left({\frac {1}{y}}\right).$

Примеры

Взаимное распределение

имеет Обратное распределение функцию плотности вида

$f(x)\propto x^{-1}\quad {\text{ for }}0<a<x<b,$

где $\propto \!\,$ означает «пропорционально» .Отсюда следует, что обратное распределение в этом случае имеет вид

$g(y)\propto y^{-1}\quad {\text{ for }}0\leq b^{-1}<y<a^{-1},$

что снова является взаимным распределением.

Обратное равномерное распределение

Обратное равномерное распределение

Параметры	$0<a<b,\quad a,b\in \mathbb {R}$
Поддерживать	$[b^{-1},a^{-1}]$
PDF	$y^{-2}{\frac {1}{b-a}}$
CDF	${\frac {b-y^{-1}}{b-a}}$
Иметь в виду	${\frac {\ln(b)-\ln(a)}{b-a}}$
медиана	${\frac {2}{a+b}}$
Дисперсия	${\frac {1}{a\cdot b}}-\left({\frac {\ln(b)-\ln(a)}{b-a}}\right)^{2}$

Если исходная случайная величина X на равномерно распределена интервале ( a , b ), где a >0, то обратная переменная Y = 1/ X имеет обратное распределение, принимающее значения в диапазоне ( b ⁻¹ , а ⁻¹ ), а функция плотности вероятности в этом диапазоне равна

$g(y)=y^{-2}{\frac {1}{b-a}},$

и равен нулю в другом месте.

Кумулятивная функция распределения обратной величины в том же диапазоне равна

$G(y)={\frac {b-y^{-1}}{b-a}}.$

Например, если X равномерно распределен на интервале (0,1), то Y = 1/ X имеет плотность $g(y)=y^{-2}$ и кумулятивная функция распределения $G(y)={1-y^{-1}}$ когда $y>1.$

Обратное t- распределение

Пусть X — t распределенная случайная величина с k степенями свободы . Тогда его функция плотности равна

$f(x)={\frac {1}{\sqrt {k\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}{\frac {1}{\left(1+{\frac {x^{2}}{k}}\right)^{\frac {1+k}{2}}}}.$

Плотность Y = 1/ X равна

$g(y)={\frac {1}{\sqrt {k\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}{\frac {1}{y^{2}\left(1+{\frac {1}{y^{2}k}}\right)^{\frac {1+k}{2}}}}.$

При k = 1 распределения X и 1/ X идентичны ( X тогда является распределением Коши (0,1)). Если k > 1, то распределение 1/ X является бимодальным .

Взаимное нормальное распределение

См. Также: Распространение неопределенности § Взаимное и взаимное смещение.

Если переменная $X$ следует нормальному распределению ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$, то обратное или обратное $Y={\frac {1}{X}}$ следует обратному нормальному распределению:

$f(y)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma y^{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1/y-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}.$

График плотности обратного стандартного нормального распределения

Если переменная X подчиняется стандартному нормальному распределению ${\mathcal {N}}(0,1)$, то Y = 1/ X следует обратному стандартному нормальному распределению , тяжелохвостый и бимодальный , с режимами на $\pm {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$ и плотность

$f(y)={\frac {e^{-{\frac {1}{2y^{2}}}}}{{\sqrt {2\pi }}y^{2}}}$

и моментов первого и более высокого порядка не существует. Для таких обратных распределений и распределений отношений все еще могут быть определены вероятности для интервалов, которые можно вычислить либо с помощью моделирования Монте-Карло , либо, в некоторых случаях, с помощью преобразования Гири – Хинкли.

Однако в более общем случае сдвинутой обратной функции $1/(p-B)$, для $B=N(\mu ,\sigma )$ Следуя общему нормальному распределению, то статистика среднего и дисперсии действительно существует в смысле главного значения , если разница между полюсом $p$ и среднее значение $\mu$ имеет реальную ценность. Среднее значение этой преобразованной случайной величины ( обратно сдвинутое нормальное распределение ) действительно является масштабированной функцией Доусона :

${\frac {\sqrt {2}}{\sigma }}F\left({\frac {p-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right).$

Напротив, если сдвиг $p-\mu$ является чисто комплексным, среднее значение существует и представляет собой масштабированную функцию Фаддеевой , точное выражение которой зависит от знака мнимой части, $\operatorname {Im} (p-\mu )$.В обоих случаях дисперсия является простой функцией среднего значения. Следовательно, дисперсию следует рассматривать в смысле главного значения, если $p-\mu$ действительна, а существует, если мнимая часть $p-\mu$ не равно нулю. Обратите внимание, что эти средние значения и дисперсии являются точными, поскольку они не возвращаются при линеаризации отношения. Точная ковариация двух отношений с парой разных полюсов $p_{1}$ и $p_{2}$ аналогично доступен. Случай обратной комплексной нормальной переменной $B$, сдвинутый или нет, демонстрирует разные характеристики.

Обратное экспоненциальное распределение

Если $X$ — экспоненциально распределенная случайная величина с параметром скорости $\lambda$, затем $Y=1/X$ имеет следующую кумулятивную функцию распределения: $F_{Y}(y)=e^{-\lambda /y}$для $y>0$. Обратите внимание, что ожидаемого значения этой случайной величины не существует. Взаимное экспоненциальное распределение находит применение при анализе затухания систем беспроводной связи.

Обратное распределение Коши

Если X — случайная величина, распределенная Коши ( μ , σ ), то 1/X — случайная величина Коши ( μ / C , σ / C ), где C = μ ² + р ² .

Обратное F-распределение

Если X является F ( ν ₁ , ν ₂ распределенной случайной величиной ), то 1 / X является случайной величиной F ( ν ₂ , ν ₁ ).

Обратная величина биномиального распределения

Если $X$ распределяется в соответствии с биномиальным распределением с $n$ количество попыток и вероятность успеха $p$ то замкнутая форма обратного распределения неизвестна. Однако мы можем вычислить среднее значение этого распределения.

$E\left[{\frac {1}{(1+X)}}\right]={\frac {1}{p(n+1)}}\left(1-(1-p)^{n+1}\right)$

Известна асимптотическая аппроксимация нецентральных моментов обратного распределения.

$E[(1+X)^{a}]=O((np)^{-a})+o(n^{-a})$

где O() и o() — функции большого и маленького порядка o , а $a$ это действительное число.

Обратно треугольному распределению

Для треугольного распределения с нижним пределом a , верхним пределом b и режимом c , где a < b и a ≤ c ≤ b , среднее обратное определяется выражением

$\mu ={\frac {2\left({\frac {a\,\mathrm {ln} \left({\frac {a}{c}}\right)}{a-c}}+{\frac {b\,\mathrm {ln} \left({\frac {c}{b}}\right)}{b-c}}\right)}{a-b}}$

и дисперсия на

$\sigma ^{2}={\frac {2\left({\frac {\mathrm {ln} \left({\frac {c}{a}}\right)}{a-c}}+{\frac {\mathrm {ln} \left({\frac {b}{c}}\right)}{b-c}}\right)}{a-b}}-\mu ^{2}$.

Оба момента обратной величины определяются только тогда, когда треугольник не пересекает ноль, т. е. когда a , b и c либо все положительные, либо все отрицательные.

Другие обратные распределения

Другие обратные распределения включают

распределение обратного хи-квадрата

обратное гамма-распределение

обратное распределение Уишарта

обратная матрица гамма-распределения

Приложения

Обратные распределения широко используются в качестве априорных распределений в байесовском выводе для параметров масштаба.

См. также

• Гармоническое среднее
• Распределение соотношения
• Самообратные распределения