Jump to content

Квантильная функция

Пробит это квантильная функция нормального распределения .

В вероятности и статистике выводит функция квантиля значение случайной величины так, что ее вероятность меньше или равна входному значению вероятности. Интуитивно понятно, что функция квантиля связывает с диапазоном на уровне вероятностного входа и ниже вероятность того, что случайная величина реализуется в этом диапазоне для некоторого распределения вероятностей. Ее также называют процентильной функцией (после процентиля ), процентной функцией , обратной кумулятивной функцией распределения (после кумулятивной функции распределения или cdf) или обратной функцией распределения .

Определение

[ редактировать ]

Строго монотонная функция распределения

[ редактировать ]

По отношению к непрерывной и строго монотонной кумулятивной функции распределения случайной величины X функция квантиля сопоставляет свой вход p с пороговым значением x так, что вероятность того, что X меньше или равна x , равна p . С точки зрения функции распределения F функция квантиля Q возвращает значение x такое, что

который можно записать как обратный cdf

Кумулятивная функция распределения (показанная как F(x) ) дает значения p как функцию значений q . Функция квантиля делает противоположное: она дает значения q как функцию значений p . Обратите внимание, что часть F(x), выделенная красным, представляет собой горизонтальный отрезок.

Общая функция распределения

[ редактировать ]

В общем случае функций распределения, которые не являются строго монотонными и, следовательно, не допускают обратного cdf , квантиль представляет собой (потенциально) многозначный функционал функции распределения F , заданный интервалом [1]

Часто стандартно выбирают наименьшее значение, которое эквивалентно можно записать как (с использованием непрерывности справа F )

Здесь мы фиксируем тот факт, что функция квантиля возвращает минимальное значение x среди всех тех значений, значение cdf которых превышает p , что эквивалентно предыдущему утверждению о вероятности в особом случае, когда распределение непрерывно. Заметим, что функцию инфимума можно заменить функцией минимума, поскольку функция распределения непрерывна справа и слабо монотонно возрастает.

Квантиль — это единственная функция, удовлетворяющая неравенствам Галуа.

тогда и только тогда, когда

Если функция F непрерывна и строго монотонно возрастает, то неравенства можно заменить равенствами, и мы имеем:

В общем, даже несмотря на то, что функция распределения F может не иметь левой или правой инверсии , функция квантиля Q ведет себя как «почти наверняка левая инверсия» для функции распределения в том смысле, что

почти наверняка.

Простой пример

[ редактировать ]

Например, кумулятивная функция распределения Экспоненты( λ ) (т.е. интенсивность λ и ожидаемое значение ( среднее значение ) 1/ λ ) равна

Функция квантиля для Exponential( λ ) получается путем нахождения значения Q, для которого :

для 0 ≤ p <1. Таким образом, квартилями являются:

первый квартиль (р = 1/4)
медиана (р = 2/4)
третий квартиль (р = 3/4)

Приложения

[ редактировать ]

Квантильные функции используются как в статистических приложениях, так и в методах Монте-Карло .

Функция квантиля — это один из способов задания распределения вероятностей, а также альтернатива функции плотности вероятности (pdf) или функции массы вероятности , кумулятивной функции распределения (cdf) и характеристической функции . Функция квантиля Q распределения вероятностей является обратной функцией его кумулятивной функции распределения F . Производная функции квантиля, а именно функция плотности квантиля , является еще одним способом задания распределения вероятностей. Это обратная величина PDF-файла, составленного с помощью функции квантиля.

Рассмотрим статистическое приложение, в котором пользователю необходимо знать ключевые процентные точки данного распределения. Например, им требуются медиана и квартили 25% и 75%, как в приведенном выше примере, или уровни 5%, 95%, 2,5%, 97,5% для других приложений, таких как оценка статистической значимости наблюдения, распределение которого известно; см. запись квантиля . До популяризации компьютеров книги нередко имели приложения со статистическими таблицами, определяющими функцию квантиля. [2] Статистические применения квантильных функций широко обсуждаются Гилкристом. [3]

В симуляциях Монте-Карло используются функции квантилей для получения неоднородных случайных или псевдослучайных чисел для использования в различных типах симуляционных расчетов. Выборку из заданного распределения в принципе можно получить, применив функцию квантиля к выборке из равномерного распределения. Требования к методам моделирования, например, в современных вычислительных финансах , сосредотачивают все большее внимание на методах, основанных на функциях квантилей, поскольку они хорошо работают с многомерными методами, основанными либо на методах копулы , либо на методах квази-Монте-Карло. [4] и методы Монте-Карло в финансах .

Для оценки квантильных функций часто используются численные методы , такие как экспоненциальное распределение, приведенное выше, которое является одним из немногих распределений, где выражение в замкнутой форме можно найти (другие включают униформу , Вейбулла , лямбду Тьюки (которая включает логистическую ) и лог-логистика ). Когда сам cdf имеет выражение в замкнутой форме, всегда можно использовать числовой алгоритм поиска корня, такой как метод деления пополам, для инвертирования cdf. Другие методы основаны на аппроксимации обратного результата с помощью методов интерполяции. [5] [6] Дополнительные алгоритмы вычисления функций квантилей приведены в «Численные рецепты» серии книг . Алгоритмы распространенных распределений встроены во многие пакеты статистического программного обеспечения . Общие методы численного расчета функций квантилей для общих классов распределений можно найти в следующих библиотеках:

Квантильные функции также можно охарактеризовать как решения нелинейных обыкновенных уравнений и уравнений в частных производных . обыкновенные дифференциальные уравнения для случаев нормального , Стьюдентского , бета- и гамма- распределений. Даны и решены [11]

Нормальное распределение

[ редактировать ]

Нормальное распределение, возможно, является наиболее важным случаем. Поскольку нормальное распределение представляет собой семейство масштабов местоположения , его функция квантиля для произвольных параметров может быть получена путем простого преобразования функции квантиля стандартного нормального распределения, известной как функция пробита . К сожалению, эта функция не имеет представления в замкнутой форме с использованием основных алгебраических функций; в результате обычно используются приблизительные представления. Тщательные сложные рациональные и полиномиальные аппроксимации были даны Вичурой. [12] и Аклам. [13] Некомпозитные рациональные аппроксимации были разработаны Шоу. [14]

Обыкновенное дифференциальное уравнение для нормального квантиля

[ редактировать ]

Может быть задано нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение для нормального квантиля w ( p ). Это

с центральными (начальными) условиями

Это уравнение можно решить несколькими методами, включая метод классического степенного ряда . На основе этого могут быть получены решения сколь угодно высокой точности (см. Steinbrecher and Shaw, 2008).

Стьюдента t -распределение

[ редактировать ]

Исторически это был один из наиболее трудноразрешимых случаев, поскольку наличие параметра ν, степеней свободы, затрудняет использование рациональных и других приближений. Простые формулы существуют, когда ν = 1, 2, 4, и проблема может быть сведена к решению многочлена, когда ν четно. В других случаях квантильные функции могут быть представлены в виде степенных рядов. [15] Простые случаи заключаются в следующем:

ν = 1 (распределение Коши)
п = 2
п = 4

где

и

В приведенном выше примере функция «знак» равна +1 для положительных аргументов, −1 для отрицательных аргументов и нулю в нуле. Ее не следует путать с тригонометрической функцией синуса.

Квантильные смеси

[ редактировать ]

Аналогично смесям плотностей распределения можно определить как смеси квантилей.

,

где , являются квантильными функциями и , — параметры модели. Параметры необходимо выбрать так, чтобы является квантильной функцией. Две четырехпараметрические смеси квантилей, смесь квантилей с нормальным полиномом и смесь квантилей с полиномом Коши, представлены Карваненом. [16]

Нелинейные дифференциальные уравнения для функций квантиля

[ редактировать ]

Нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение, данное для нормального распределения, является частным случаем уравнения, доступного для любой функции квантиля, у которой существует вторая производная. В общем случае можно дать уравнение для квантиля Q ( p ). Это

дополнен подходящими граничными условиями, где

и ƒ ( x ) — функция плотности вероятности. Формы этого уравнения и его классический анализ с помощью рядов и асимптотических решений для случаев нормального распределения, распределения Стьюдента, гамма- и бета-распределения были разъяснены Стейнбрехером и Шоу (2008). Такие решения обеспечивают точные эталоны, а в случае Student — подходящую серию для живого использования по методу Монте-Карло.

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Эм, В.; Гнейтинг, Т.; Джордан, А.; Крюгер, Ф. (2016). «О квантилях и ожиданиях: последовательные оценочные функции, представления Шоке и рейтинги прогнозов» . JR Стат. Соц. Б. 78 (3): 505–562. arXiv : 1503.08195 . дои : 10.1111/rssb.12154 .
  2. ^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 24 марта 2012 года . Проверено 25 марта 2012 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )
  3. ^ Гилкрист, В. (2000). Статистическое моделирование с использованием квантильных функций . Тейлор и Фрэнсис. ISBN  1-58488-174-7 .
  4. ^ Джекель, П. (2002). Методы Монте-Карло в финансах .
  5. ^ Хёрманн, Вольфганг; Лейдольд, Йозеф (2003). «Непрерывная генерация случайных величин путем быстрой числовой инверсии» . ACM-транзакции по моделированию и компьютерному моделированию . 13 (4): 347–362. дои : 10.1145/945511.945517 . Проверено 17 июня 2024 г. - через WU Vienna.
  6. ^ Дерфлингер, Герхард; Хёрманн, Вольфганг; Лейдольд, Йозеф (2010). «Генерация случайных величин путем числовой инверсии, когда известна только плотность». ACM-транзакции по моделированию и компьютерному моделированию . 20 (4): 1–25. дои : 10.1145/1842722.1842723 . Искусство. № 18.
  7. ^ «UNU.RAN — Универсальные генераторы неравномерных случайных чисел» .
  8. ^ «Runuran: R-интерфейс к генераторам случайных величин UNU.RAN» . 17 января 2023 г.
  9. ^ «Генератор случайных чисел (Scipy.stats.sampling) — Руководство по SciPy v1.13.0» .
  10. ^ Баумгартен, Кристоф; Патель, Тирт (2022). «Автоматическая генерация случайных величин в Python». Материалы 21-й конференции «Питон в науке» . стр. 46–51. дои : 10.25080/majora-212e5952-007 .
  11. ^ Штайнбрехер, Г.; Шоу, WT (2008). «Квантильная механика». Европейский журнал прикладной математики . 19 (2): 87–112. дои : 10.1017/S0956792508007341 . S2CID   6899308 .
  12. ^ Вичура, MJ (1988). «Алгоритм AS241: Процентные точки нормального распределения». Прикладная статистика . 37 (3). Издательство Блэквелл: 477–484. дои : 10.2307/2347330 . JSTOR   2347330 .
  13. ^ Алгоритм вычисления обратной нормальной функции кумулятивного распределения. Архивировано 5 мая 2007 г., в Wayback Machine.
  14. ^ Вычислительные финансы: дифференциальные уравнения для переработки Монте-Карло
  15. ^ Шоу, WT (2006). «Выборочное Т-распределение Стьюдента - использование обратной кумулятивной функции распределения». Журнал вычислительных финансов . 9 (4): 37–73. дои : 10.21314/JCF.2006.150 .
  16. ^ Карванен, Дж. (2006). «Оценка квантильных смесей с помощью L-моментов и обрезанных L-моментов». Вычислительная статистика и анализ данных . 51 (2): 947–956. дои : 10.1016/j.csda.2005.09.014 .

Дальнейшее чтение

[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: eeeccb3d03f8aa8d0d03b057bbcdb036__1718652180
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/ee/36/eeeccb3d03f8aa8d0d03b057bbcdb036.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Quantile function - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)