Личность Бьенеме

В теории вероятностей общее форма идентичности Бьенеме гласит, что

$\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} (X_{i})+2\sum _{i,j=1 \atop i<j}^{n}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=\sum _{i,j=1}^{n}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})$.

Это можно упростить, если $X_{1},\ldots ,X_{n}$ являются попарно независимыми или просто некоррелированными интегрируемыми случайными величинами , каждая из которых имеет конечный второй момент . Это упрощение дает:

$\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Var} (X_{k})$.

Вышеприведенное выражение иногда называют формулой Бьенеме . Тождество Бьенеме может быть использовано при доказательстве некоторых вариантов закона больших чисел .

Предполагаемая дисперсия совокупной суммы iid нормально распределенных случайных величин (которая может представлять собой гауссово случайное блуждание, аппроксимирующее винеровский процесс ). Выборочная дисперсия вычисляется по 300 реализациям соответствующего случайного процесса.

См. также

• Дисперсия
• Распространение ошибки
• Центральная предельная теорема цепи Маркова
• Панджерская рекурсия