Распространение неопределенности

О распространении неопределенности во времени см. Теория хаоса § Чувствительность к начальным условиям .

В статистике распространение неопределенности (или распространение ошибки ) — это влияние переменных неопределенностей основанной (или ошибок , точнее случайных ошибок ) на неопределенность на них функции . Когда переменные представляют собой значения экспериментальных измерений, они имеют неопределенности из-за ограничений измерения (например, точности прибора ), которые распространяются из-за комбинации переменных в функции.

Неопределенность u может быть выражена разными способами.Ее можно определить по абсолютной ошибке Δ x . Неопределенности также можно определить с помощью относительной ошибки (Δx ) / x , которая обычно выражается в процентах.Чаще всего неопределенность величины выражается количественно через стандартное отклонение , σ которое представляет собой положительный квадратный корень из дисперсии . Значение величины и ее ошибка тогда выражаются как интервал x ± u . Однако наиболее общий способ охарактеризовать неопределенность — указать ее распределение вероятностей .Если распределение вероятностей переменной известно или можно предположить, теоретически можно получить любую ее статистику. В частности, можно вывести доверительные пределы для описания области, в которой может быть найдено истинное значение переменной. Например, доверительные пределы 68% для одномерной переменной, принадлежащей нормальному распределению, составляют примерно ± одно стандартное отклонение σ от центрального значения x , что означает, что область x ± σ будет соответствовать истинному значению примерно в 68% случаев.

Если неопределенности коррелируют , то ковариацию необходимо учитывать . Корреляция может возникать из двух разных источников. Во-первых, ошибки измерения могут быть коррелированы. Во-вторых, когда основные значения коррелируют среди населения, неопределенности в средних группах будут коррелировать.

В общем контексте, когда нелинейная функция изменяет неопределенные параметры (коррелированные или нет), стандартными инструментами для распространения неопределенности и вывода результирующего распределения вероятностей/статистики величин являются методы выборки из семейства методов Монте-Карло . Для очень обширных данных или сложных функций расчет распространения ошибки может быть очень трудоемким, поэтому суррогатная модель или параллельных вычислений стратегия может быть необходимо.

В некоторых частных случаях расчет распространения неопределенности можно выполнить с помощью упрощенных алгебраических процедур. Некоторые из этих сценариев описаны ниже.

Линейные комбинации

Позволять $\{f_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\}$ — набор из m функций, которые представляют собой линейные комбинации $n$ переменные $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ с комбинационными коэффициентами $A_{k1},A_{k2},\dots ,A_{kn},(k=1,\dots ,m)$: $$f_{k}=\sum _{i=1}^{n}A_{ki}x_{i},$$или в матричной записи, $$\mathbf {f} =\mathbf {A} \mathbf {x} .$$

Также пусть матрица дисперсии-ковариации x = ( x ₁ , ..., x _n ) обозначается через ${\boldsymbol {\Sigma }}^{x}$ и обозначим среднее значение через ${\boldsymbol {\mu }}$: $${\boldsymbol {\Sigma }}^{x}=E[(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\otimes (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})]={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}&\sigma _{12}&\sigma _{13}&\cdots \\\sigma _{21}&\sigma _{2}^{2}&\sigma _{23}&\cdots \\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{3}^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\Sigma }_{11}^{x}&{\Sigma }_{12}^{x}&{\Sigma }_{13}^{x}&\cdots \\{\Sigma }_{21}^{x}&{\Sigma }_{22}^{x}&{\Sigma }_{23}^{x}&\cdots \\{\Sigma }_{31}^{x}&{\Sigma }_{32}^{x}&{\Sigma }_{33}^{x}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}.$$$\otimes$ это внешний продукт .

Тогда дисперсионно-ковариационная матрица ${\boldsymbol {\Sigma }}^{f}$ f выражением определяется $${\boldsymbol {\Sigma }}^{f}=E[(\mathbf {f} -E[\mathbf {f} ])\otimes (\mathbf {f} -E[\mathbf {f} ])]=E[\mathbf {A} (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\otimes \mathbf {A} (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})]=\mathbf {A} E[(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\otimes (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})]\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }.$$

В обозначениях компонентов уравнение $${\boldsymbol {\Sigma }}^{f}=\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }$$читает $$\Sigma _{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}\sum _{l}^{n}A_{ik}{\Sigma }_{kl}^{x}A_{jl}.$$

Это наиболее общее выражение распространения ошибки от одного набора переменных к другому. Когда ошибки по x некоррелированы, общее выражение упрощается до $$\Sigma _{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}A_{ik}\Sigma _{k}^{x}A_{jk},$$где $\Sigma _{k}^{x}=\sigma _{x_{k}}^{2}$ — дисперсия k -го элемента вектора x .Обратите внимание, что хотя ошибки x могут быть некоррелированными, ошибки f обычно коррелируют; другими словами, даже если ${\boldsymbol {\Sigma }}^{x}$ диагональная матрица, ${\boldsymbol {\Sigma }}^{f}$ вообще-то полная матрица.

Общие выражения для скалярной функции f немного проще (здесь a — вектор-строка): $$f=\sum _{i}^{n}a_{i}x_{i}=\mathbf {ax} ,$$$$\sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}\sum _{j}^{n}a_{i}\Sigma _{ij}^{x}a_{j}=\mathbf {a} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }.$$

Каждый ковариационный член $\sigma _{ij}$ может быть выражено через коэффициент корреляции $\rho _{ij}$ к $\sigma _{ij}=\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}$, так что альтернативное выражение для дисперсии f имеет вид $$\sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}+\sum _{i}^{n}\sum _{j(j\neq i)}^{n}a_{i}a_{j}\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}.$$

В случае, если переменные в x некоррелированы, это еще больше упрощается до $$\sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}.$$

В простом случае одинаковых коэффициентов и дисперсий находим $$\sigma _{f}={\sqrt {n}}\,|a|\sigma .$$

Для среднего арифметического, $a=1/n$, результатом является стандартная ошибка среднего : $$\sigma _{f}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}.$$

Нелинейные комбинации

См. Также: Разложения Тейлора для моментов функций случайных величин.

Когда f представляет собой набор нелинейной комбинации переменных x , можно выполнить распространение по интервалам , чтобы вычислить интервалы, которые содержат все согласованные значения переменных. В вероятностном подходе функция f первого порядка обычно должна быть линеаризована путем приближения к разложению в ряд Тейлора , хотя в некоторых случаях можно вывести точные формулы, которые не зависят от разложения, как в случае с точной дисперсией произведений . Расширение Тейлора будет: $$f_{k}\approx f_{k}^{0}+\sum _{i}^{n}{\frac {\partial f_{k}}{\partial {x_{i}}}}x_{i}$$где $\partial f_{k}/\partial x_{i}$ обозначает частную производную f -й переменной , _k по i оцененную по среднему значению всех компонентов вектора x . Или в матричной записи : $$\mathrm {f} \approx \mathrm {f} ^{0}+\mathrm {J} \mathrm {x} \,$$где J — матрица Якобиана . Поскольку f ⁰ является константой, она не вносит вклад в ошибку по f. Таким образом, распространение ошибки следует линейному случаю, описанному выше, но с заменой линейных коэффициентов A _ki и A _kj на частные производные, ${\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{i}}}$ и ${\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{j}}}$. В матричной записи $$\mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {f} }=\mathrm {J} \mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {x} }\mathrm {J} ^{\top }.$$

То есть якобиан функции используется для преобразования строк и столбцов дисперсионно-ковариационной матрицы аргумента.Обратите внимание, что это эквивалентно матричному выражению для линейного случая с $\mathrm {J=A}$.

Упрощение

Пренебрежение корреляциями или допущение независимых переменных приводит к общей формуле среди инженеров и ученых-экспериментаторов для расчета распространения ошибок - формуле дисперсии: $$s_{f}={\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}s_{x}^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}s_{y}^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\right)^{2}s_{z}^{2}+\cdots }}$$где $s_{f}$ представляет собой стандартное отклонение функции $f$, $s_{x}$ представляет собой стандартное отклонение $x$, $s_{y}$ представляет собой стандартное отклонение $y$и так далее.

Эта формула основана на линейных характеристиках градиента $f$ и, следовательно, это хорошая оценка стандартного отклонения $f$ пока $s_{x},s_{y},s_{z},\ldots$ достаточно малы. В частности, линейное приближение $f$ должно быть близко к $f$ внутри окрестности радиуса $s_{x},s_{y},s_{z},\ldots$.

Пример

Любая нелинейная дифференцируемая функция, $f(a,b)$, двух переменных, $a$ и $b$, можно расширить как $$f\approx f^{0}+{\frac {\partial f}{\partial a}}a+{\frac {\partial f}{\partial b}}b.$$Если мы возьмем дисперсию с обеих сторон и воспользуемся формулой для дисперсии линейной комбинации переменных $$\operatorname {Var} (aX+bY)=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)+2ab\operatorname {Cov} (X,Y),$$тогда мы получим $$\sigma _{f}^{2}\approx \left|{\frac {\partial f}{\partial a}}\right|^{2}\sigma _{a}^{2}+\left|{\frac {\partial f}{\partial b}}\right|^{2}\sigma _{b}^{2}+2{\frac {\partial f}{\partial a}}{\frac {\partial f}{\partial b}}\sigma _{ab},$$где $\sigma _{f}$ - стандартное отклонение функции $f$, $\sigma _{a}$ стандартное отклонение $a$, $\sigma _{b}$ стандартное отклонение $b$ и $\sigma _{ab}=\sigma _{a}\sigma _{b}\rho _{ab}$ это ковариация между $a$ и $b$.

В частном случае, что $f=ab$, ${\frac {\partial f}{\partial a}}=b$, ${\frac {\partial f}{\partial b}}=a$. Затем $$\sigma _{f}^{2}\approx b^{2}\sigma _{a}^{2}+a^{2}\sigma _{b}^{2}+2ab\,\sigma _{ab}$$или $$\left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)^{2}+2\left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)\rho _{ab}$$где $\rho _{ab}$ это корреляция между $a$ и $b$.

Когда переменные $a$ и $b$ некоррелированы, $\rho _{ab}=0$. Затем $$\left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)^{2}.$$

Предостережения и предупреждения

Оценки ошибок для нелинейных функций смещены из-за использования разложения в усеченный ряд. Степень этой предвзятости зависит от характера функции. Например, смещение ошибки, рассчитанной для log(1+ x ), увеличивается с увеличением x , поскольку разложение до x является хорошим приближением только тогда, когда x близок к нулю.

Для сильно нелинейных функций существует пять категорий вероятностных подходов к распространению неопределенности; см . в разделе «Количественная оценка неопределенности» подробности .

Взаимный и смещенный взаимный

Основная статья: Взаимное нормальное распределение

В частном случае обратного или взаимного $1/B$, где $B=N(0,1)$ следует стандартному нормальному распределению , результирующее распределение является обратным стандартным нормальным распределением, и определимая дисперсия не существует.

Однако в несколько более общем случае смещенной обратной функции $1/(p-B)$ для $B=N(\mu ,\sigma )$ Следуя общему нормальному распределению, то статистика среднего и дисперсии действительно существует в смысле главного значения , если разница между полюсом $p$ и среднее значение $\mu$ имеет реальную ценность.

Соотношения

Основная статья: Распределение нормального соотношения

Соотношения также проблематичны; нормальные приближения существуют при определенных условиях.

Примеры формул

В этой таблице показаны дисперсии и стандартные отклонения простых функций действительных переменных. $A,B$ со стандартными отклонениями $\sigma _{A},\sigma _{B},$ ковариация $\sigma _{AB}=\rho _{AB}\sigma _{A}\sigma _{B},$ и корреляция $\rho _{AB}.$ Действительные коэффициенты $a$ и $b$ предполагаются точно известными (детерминированными), т.е. $\sigma _{a}=\sigma _{b}=0.$

В правых столбцах таблицы $A$ и $B$ являются ожидаемыми значениями , и $f$ — значение функции, рассчитанное по этим значениям.

Функция	Дисперсия	Стандартное отклонение
$f=aA\,$	$\sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}$	$\sigma _{f}=|a|\sigma _{A}$
$f=A+B$	$\sigma _{f}^{2}=\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}+2\sigma _{AB}$	$\sigma _{f}={\sqrt {\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}+2\sigma _{AB}}}$
$f=A-B$	$\sigma _{f}^{2}=\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2\sigma _{AB}$	$\sigma _{f}={\sqrt {\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2\sigma _{AB}}}$
$f=aA+bB$	$\sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}+2ab\,\sigma _{AB}$	$\sigma _{f}={\sqrt {a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}+2ab\,\sigma _{AB}}}$
$f=aA-bB$	$\sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}-2ab\,\sigma _{AB}$	$\sigma _{f}={\sqrt {a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}-2ab\,\sigma _{AB}}}$
$f=AB$	$\sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}\right]$	$\sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}}}$
$f={\frac {A}{B}}$	$\sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}-2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}\right]$	$\sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}-2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}}}$
$f={\frac {A}{A+B}}$	$\sigma _{f}^{2}\approx {\frac {f^{2}}{\left(A+B\right)^{2}}}\left({\frac {B^{2}}{A^{2}}}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2{\frac {B}{A}}\sigma _{AB}\right)$	$\sigma _{f}\approx \left|{\frac {f}{A+B}}\right|{\sqrt {{\frac {B^{2}}{A^{2}}}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2{\frac {B}{A}}\sigma _{AB}}}$
$f=aA^{b}$	$\sigma _{f}^{2}\approx \left({a}{b}{A}^{b-1}{\sigma _{A}}\right)^{2}=\left({\frac {{f}{b}{\sigma _{A}}}{A}}\right)^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left|{a}{b}{A}^{b-1}{\sigma _{A}}\right|=\left|{\frac {{f}{b}{\sigma _{A}}}{A}}\right|$
$f=a\ln(bA)$	$\sigma _{f}^{2}\approx \left(a{\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left|a{\frac {\sigma _{A}}{A}}\right|$
$f=a\log _{10}(bA)$	$\sigma _{f}^{2}\approx \left(a{\frac {\sigma _{A}}{A\ln(10)}}\right)^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left|a{\frac {\sigma _{A}}{A\ln(10)}}\right|$
$f=ae^{bA}$	$\sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left(b\sigma _{A}\right)^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left|f\right|\left|\left(b\sigma _{A}\right)\right|$
$f=a^{bA}$	$\sigma _{f}^{2}\approx f^{2}(b\ln(a)\sigma _{A})^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left|f\right|\left|b\ln(a)\sigma _{A}\right|$
$f=a\sin(bA)$	$\sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\cos(bA)\sigma _{A}\right]^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left|ab\cos(bA)\sigma _{A}\right|$
$f=a\cos \left(bA\right)\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\sin(bA)\sigma _{A}\right]^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left|ab\sin(bA)\sigma _{A}\right|$
$f=a\tan \left(bA\right)\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\sec ^{2}(bA)\sigma _{A}\right]^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left|ab\sec ^{2}(bA)\sigma _{A}\right|$
$f=A^{B}$	$\sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {B}{A}}\sigma _{A}\right)^{2}+\left(\ln(A)\sigma _{B}\right)^{2}+2{\frac {B\ln(A)}{A}}\sigma _{AB}\right]$	$\sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {B}{A}}\sigma _{A}\right)^{2}+\left(\ln(A)\sigma _{B}\right)^{2}+2{\frac {B\ln(A)}{A}}\sigma _{AB}}}$
$f={\sqrt {aA^{2}\pm bB^{2}}}$	$\sigma _{f}^{2}\approx \left({\frac {A}{f}}\right)^{2}a^{2}\sigma _{A}^{2}+\left({\frac {B}{f}}\right)^{2}b^{2}\sigma _{B}^{2}\pm 2ab{\frac {AB}{f^{2}}}\,\sigma _{AB}$	$\sigma _{f}\approx {\sqrt {\left({\frac {A}{f}}\right)^{2}a^{2}\sigma _{A}^{2}+\left({\frac {B}{f}}\right)^{2}b^{2}\sigma _{B}^{2}\pm 2ab{\frac {AB}{f^{2}}}\,\sigma _{AB}}}$

Для некоррелированных переменных ( $\rho _{AB}=0$, $\sigma _{AB}=0$) выражения для более сложных функций можно получить путем объединения более простых функций. Например, повторное умножение, при условии отсутствия корреляции, дает $$f=ABC;\qquad \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{C}}{C}}\right)^{2}.$$

Для случая $f=AB$ у нас также есть выражение Гудмана для точной дисперсии: для некоррелированного случая это $$V(XY)=E(X)^{2}V(Y)+E(Y)^{2}V(X)+E((X-E(X))^{2}(Y-E(Y))^{2}),$$и поэтому мы имеем $$\sigma _{f}^{2}=A^{2}\sigma _{B}^{2}+B^{2}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}.$$

Влияние корреляции на различия

Если A и B некоррелированы, их разница A − B будет иметь большую дисперсию, чем любая из них. Возрастающая положительная корреляция ( $\rho _{AB}\to 1$) уменьшит дисперсию разности, приближаясь к нулевой дисперсии для идеально коррелирующих переменных с одинаковой дисперсией . С другой стороны, отрицательная корреляция ( $\rho _{AB}\to -1$) еще больше увеличит дисперсию разницы по сравнению с некоррелированным случаем.

Например, самовычитание f = A − A имеет нулевую дисперсию. $\sigma _{f}^{2}=0$ только если переменная полностью автокоррелирована ( $\rho _{A}=1$). Если А некоррелировано, $\rho _{A}=0,$ тогда выходная дисперсия в два раза превышает входную дисперсию, $\sigma _{f}^{2}=2\sigma _{A}^{2}.$ И если A совершенно антикоррелирован, $\rho _{A}=-1,$ тогда входная дисперсия увеличивается в четыре раза на выходе, $\sigma _{f}^{2}=4\sigma _{A}^{2}$ (уведомление $1-\rho _{A}=2$ для f = aA − aA в таблице выше).

Пример расчетов

Функция обратного тангенса

Мы можем рассчитать распространение неопределенности для функции обратного тангенса в качестве примера использования частных производных для распространения ошибки.

Определять $$f(x)=\arctan(x),$$где $\Delta _{x}$ — абсолютная неопределенность нашего измерения x . Производная f ( x ) по x равна $${\frac {df}{dx}}={\frac {1}{1+x^{2}}}.$$

Следовательно, наша распространяемая неопределенность равна $$\Delta _{f}\approx {\frac {\Delta _{x}}{1+x^{2}}},$$где $\Delta _{f}$ – абсолютная распространяемая неопределенность.

Измерение сопротивления

Практическое применение — это , котором измеряют ток I используя и напряжение V R на резисторе , чтобы определить сопротивление R в , Ома закон эксперимент = V / I .

Учитывая измеряемые переменные с неопределенностями I ± σ _I и V ± σ _V и пренебрегая их возможной корреляцией, неопределенность вычисленной величины σ _R составляет:

$$\sigma _{R}\approx {\sqrt {\sigma _{V}^{2}\left({\frac {1}{I}}\right)^{2}+\sigma _{I}^{2}\left({\frac {-V}{I^{2}}}\right)^{2}}}=R{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{V}}{V}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{I}}{I}}\right)^{2}}}.$$

См. также

• Точность и точность
• Автоматическая дифференциация
• Личность Бьенеме
• Дельта-метод
• Снижение точности (навигация)
• Ошибки и остатки в статистике
• Экспериментальный анализ неопределенности
• Интервальный конечный элемент
• Неопределенность измерения
• Численная стабильность
• Анализ границ вероятности
• Количественная оценка неопределенности
• Случайно-нечеткая переменная
• Дисперсия § Распространение

Дальнейшее чтение

• Бевингтон, Филип Р.; Робинсон, Д. Кейт (2002), Сокращение данных и анализ ошибок для физических наук (3-е изд.), McGraw-Hill, ISBN  978-0-07-119926-1
• Форнасини, Паоло (2008), Неопределенность физических измерений: введение в анализ данных в физической лаборатории , Springer, стр. 161, ИСБН  978-0-387-78649-0
• Мейер, Стюарт Л. (1975), Анализ данных для ученых и инженеров , Wiley, ISBN  978-0-471-59995-1
• Перальта, М. (2012), Распространение ошибок: как математически прогнозировать ошибки измерений , CreateSpace
• Руо, М. (2013), Вероятность, статистика и оценка: распространение неопределенностей в экспериментальных измерениях (PDF) (краткая редакция)
• Тейлор, младший (1997), Введение в анализ ошибок: исследование неопределенностей в физических измерениях (2-е изд.), Университетские научные книги
• Ван, СМ; Айер, Хари К. (7 сентября 2005 г.). «О поправках высшего порядка за распространение неопределенностей». Метрология . 42 (5): 406–410. дои : 10.1088/0026-1394/42/5/011 . ISSN   0026-1394 . S2CID   122841691 .

Внешние ссылки

• Подробное обсуждение измерений и распространения неопределенности, объясняющее преимущества использования формул распространения ошибок и моделирования Монте-Карло вместо простой арифметики значимости.
• ГУМ , Руководство по выражению неопределенности измерений
• EPFL. Введение в распространение ошибок , вывод, значение и примеры Cy = Fx Cx Fx'
• пакет неопределенностей — программа/библиотека для прозрачного выполнения расчетов с неопределенностями (и корреляциями ошибок).
• пакет soerp — программа/библиотека Python для прозрачного выполнения вычислений *второго* порядка* с неопределенностями (и корреляциями ошибок).
• Объединенный комитет руководств по метрологии (2011 г.). JCGM 102: Оценка данных измерений - Приложение 2 к «Руководству по выражению неопределенности в измерениях» - Расширение на любое количество выходных величин (PDF) (Технический отчет). JCGM . Проверено 13 февраля 2013 г.
• Калькулятор неопределенности. Распространение неопределенности для любого выражения.