Изометрическая проекция

Изометрическая проекция — метод визуального представления трехмерных объектов в двух измерениях на технических и инженерных чертежах . Это аксонометрическая проекция , в которой три оси координат кажутся одинаково укороченными, а угол между любыми двумя из них составляет 120 градусов.

Обзор

Изометрический рисунок куба

Повороты камеры, необходимые для достижения этой перспективы

Термин «изометрический» происходит от греческого слова «равная мера», что означает, что масштаб вдоль каждой оси проекции одинаков (в отличие от некоторых других форм графической проекции ).

Изометрический вид объекта можно получить, выбрав направление обзора так, чтобы углы между проекциями x , y и z осей были одинаковыми или составляли 120°. Например, в случае с кубом это делается, если сначала посмотреть прямо на одну грань. Далее куб поворачивается на ±45° вокруг вертикальной оси, после чего следует поворот примерно на 35,264° (точно арксинус). 1 ⁄ √ 3 или арктан 1 ⁄ √ 2 , что связано с Магическим углом ) относительно горизонтальной оси. Обратите внимание, что в случае куба (см. изображение) периметр полученного двухмерного рисунка представляет собой идеальный правильный шестиугольник: все черные линии имеют одинаковую длину, а все грани куба имеют одинаковую площадь. Изометрическую миллиметровку можно положить под обычный лист ватмана, чтобы добиться эффекта без вычислений.

Аналогичным способом можно получить изометрический вид в 3D-сцене. Начиная с камеры, расположенной параллельно полу и совмещенной с осями координат, ее сначала поворачивают горизонтально (вокруг вертикальной оси) на ±45°, затем на 35,264° вокруг горизонтальной оси.

Другой способ визуализации изометрической проекции — это рассмотреть вид внутри кубической комнаты, начиная с верхнего угла и глядя в сторону противоположного, нижнего угла. Ось X проходит по диагонали вниз и вправо, ось Y проходит по диагонали вниз и влево, а ось Z направлена прямо вверх. Глубина также отображается по высоте на изображении. Линии, проведенные вдоль осей, расположены под углом 120° друг к другу.

Во всех этих случаях, как и во всех аксонометрических и орфографических проекциях , такой камере потребуется телецентрическая линза в пространстве объекта , чтобы проецируемые длины не менялись с расстоянием от камеры.

Термин «изометрический» часто ошибочно используется для обозначения аксонометрических проекций в целом. Однако на самом деле существует три типа аксонометрических проекций: изометрическая , диметрическая и косая .

Углы поворота

С учетом двух углов, необходимых для изометрической проекции, значение второго может показаться нелогичным и заслуживает дальнейшего объяснения. Давайте сначала представим себе куб со сторонами длиной 2 и его центром в начале координат, что означает, что все его грани пересекают оси на расстоянии 1 от начала координат. Мы можем вычислить длину линии от ее центра до середины любого края как √ 2 , используя теорему Пифагора . Таким образом , повернув куб на 45° по оси x , точка (1, 1, 1) станет (1, 0, √ 2 ), как показано на диаграмме. Второе вращение направлено на то, чтобы переместить ту же точку на положительную ось z , поэтому необходимо выполнить поворот на величину, арктангенсу равную 1 ⁄ √ 2, что составляет примерно 35,264°.

Математика

Существует восемь различных ориентаций для получения изометрического вида, в зависимости от того, в какой октант смотрит зритель. Изометрическое преобразование из точки a _{x , y , z} в трехмерном пространстве в точку b _{x , y} в двухмерном пространстве при взгляде на первый октант можно математически записать с помощью матриц вращения как: ${\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\cos \alpha }&{\sin \alpha }\\0&{-\sin \alpha }&{\cos \alpha }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\cos \beta }&0&{-\sin \beta }\\0&1&0\\{\sin \beta }&0&{\cos \beta }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {6}}}{\begin{bmatrix}{\sqrt {3}}&0&-{\sqrt {3}}\\1&2&1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&{\sqrt {2}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}$

где α = arcsin(tan 30°) ≈ 35,264° и β = 45°. Как объяснялось выше, это вращение вокруг вертикальной (здесь y ) оси на β , за которым следует вращение вокруг горизонтальной (здесь x ) оси на α . Затем следует ортогональная проекция на плоскость xy : ${\begin{bmatrix}\mathbf {b} _{x}\\\mathbf {b} _{y}\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}$

Остальные 7 возможностей достигаются либо поворотом в противоположные стороны, либо нет, а затем инвертированием направления обзора или нет. ^[1]

История и ограничения

Модель оптико-шлифовального двигателя (1822 г.), выполненная в изометрии под углом 30°. ^[2]

Пример аксонометрического искусства в иллюстрированном издании « Романа о трёх королевствах» , Китай, ок. 15 век.

, впервые формализованная профессором Уильямом Фаришем Концепция изометрии (1759–1837), существовала в грубой эмпирической форме на протяжении веков. ^[3]^[4] С середины XIX века изометрия стала «бесценным инструментом для инженеров, и вскоре после этого аксонометрия и изометрия были включены в учебную программу курсов архитектурной подготовки в Европе и США». ^[5] По словам Яна Крикке (2000) ^[6] однако «аксонометрия зародилась в Китае. Ее функция в китайском искусстве была аналогична линейной перспективе в европейском искусстве. Аксонометрия и связанная с ней графическая грамматика приобрели новое значение с появлением визуальных вычислений». ^[6]

Пример ограничений изометрической проекции. Разность высот между красным и синим шарами не может быть определена локально.

Лестница Пенроуза изображает лестницу, которая, кажется, поднимается (против часовой стрелки) или опускается (по часовой стрелке), но при этом образует непрерывную петлю.

Как и все типы параллельной проекции , объекты, нарисованные в изометрической проекции, не кажутся больше или меньше по мере того, как они приближаются к зрителю или удаляются от него. Хотя это и выгодно для архитектурных чертежей , где измерения необходимо проводить напрямую, результатом является воспринимаемое искажение, поскольку, в отличие от перспективной проекции , это не так, как обычно работает человеческое зрение или фотография. Это также может легко привести к ситуациям, когда глубину и высоту трудно измерить, как показано на рисунке справа или выше. Может показаться, что это создает парадоксальные или невозможные формы , такие как лестница Пенроуза .

Использование в видеоиграх и пиксельной графике.

Изометрическая графика видеоигр — это графика, используемая в видеоиграх и пиксельной графике , в которой используется параллельная проекция , но которая наклоняет точку обзора , чтобы раскрыть грани окружающей среды, которые в противном случае не были бы видны с точки зрения сверху вниз или вида сбоку , тем самым создавая трехмерное изображение. -размерный эффект . Несмотря на название, изометрическая компьютерная графика не обязательно является истинно изометрической — т. е. $оси x$ , $y$ и $z$ не обязательно ориентированы под углом 120° друг к другу. Вместо этого используются различные углы, диметрическая проекция наиболее распространенными из которых являются и соотношение пикселей 2:1. Условия» 3 ⁄ перспективы ", " 3 ⁄ 4 Также иногда используются вид », « 2,5D » и «псевдо3D», хотя в других контекстах эти термины могут иметь несколько иное значение.

Когда-то изометрическая проекция стала менее распространенной с появлением более мощных систем трехмерной графики , а также по мере того, как видеоигры стали больше фокусироваться на действиях и отдельных персонажах. ^[7] Однако видеоигры, использующие изометрическую проекцию, особенно компьютерные ролевые игры , в последние годы пережили возрождение на инди-игровой сцене. ^[7]^[8]

См. также

Графическая проекция

Ссылки

^ Ингрид Карлбом; Джозеф Пасиорек; Дэн Лим (декабрь 1978 г.). «Плоские геометрические проекции и преобразования просмотра». Обзоры вычислительной техники ACM . 10 (4): 465–502. CiteSeerX 10.1.1.532.4774 . дои : 10.1145/356744.356750 . S2CID 708008 .
^ Уильям Фариш (1822) «В изометрической перспективе». В: Кембриджские философские труды . 1 (1822 г.).
^ Барклай Г. Джонс (1986). Защита исторической архитектуры и музейных коллекций от стихийных бедствий . Мичиганский университет. ISBN 0-409-90035-4 . стр.243.
^ Чарльз Эдмунд Мурхаус (1974). Визуальные сообщения: графическая коммуникация для старшеклассников .
^ Дж. Крикке (1996). « Китайская перспектива в киберпространстве? Архивировано 5 февраля 2016 г. в Wayback Machine ». В: Информационный бюллетень Международного института азиатских исследований , 9, лето 1996 г.
^ Jump up to: ^а ^б Ян Крикке (2000). «Аксонометрия: вопрос перспективы». В: Компьютерная графика и приложения, IEEE, июль/август 2000 г. Том 20 (4), стр. 7–11.
^ Jump up to: ^а ^б Синьор, Джереми (19 декабря 2014 г.). «Ретронавты: сохраняющаяся актуальность изометрических игр» . usgamer.net . Геймерская сеть. Архивировано из оригинала 25 сентября 2022 г. Проверено 1 апреля 2017 г.
^ Вас, Герго (18 марта 2013 г.). «Самые красивые изометрические игры» . котаку.com . Гизмодо Медиа Групп. Архивировано из оригинала 10 октября 2021 г. Проверено 1 апреля 2017 г.

Внешние ссылки