Тетраэдр Рело

Анимация тетраэдра Рело, показывающая также тетраэдр, из которого он образован.

Четыре шара пересекаются, образуя тетраэдр Рело.

Рело Тетраэдр

Тетраэдр Рело — это пересечение четырех шаров радиуса s s центрами в вершинах правильного тетраэдра с длиной стороны с . Сферическая поверхность шара с центром в каждой вершине проходит через три другие вершины, которые также образуют вершины тетраэдра Рело. Таким образом, центр каждого шара находится на поверхностях трех других шаров. Тетраэдр Рело имеет ту же структуру граней, что и правильный тетраэдр, но с изогнутыми гранями: четырьмя вершинами и четырьмя изогнутыми гранями, соединенными шестью дугами окружности.

Эта форма определена и названа по аналогии с треугольником Рело , двумерной кривой постоянной ширины ; Обе формы названы в честь Франца Рёло , немецкого инженера XIX века, который провел новаторскую работу над способами, с помощью которых машины преобразуют один тип движения в другой. В математической литературе можно встретить неоднократные утверждения о том, что тетраэдр Рело аналогично представляет собой поверхность постоянной ширины , но это неверно: две средние точки противоположных реберных дуг разделены большим расстоянием,

$\left({\sqrt {3}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\cdot s\approx 1.0249s.$

Объем и площадь поверхности

Объем равен тетраэдра Рело

${\frac {s^{3}}{12}}(3{\sqrt {2}}-49\pi +162\tan ^{-1}{\sqrt {2}}\;\!)={\frac {s^{3}}{12}}\left(32\pi -81\cos ^{-1}\left({\tfrac {1}{3}}\right)+3{\sqrt {2}}\right)\approx 0.422s^{3}.$

поверхности Площадь ​

$\left[8\pi -18\cos ^{-1}\left({\tfrac {1}{3}}\right)\right]s^{2}\approx 2.975s^{2}.$

Мейснеровские тела

Эрнст Мейснер и Фридрих Шиллинг показал, как модифицировать тетраэдр Рело, чтобы сформировать поверхность постоянной ширины , заменив три его реберные дуги изогнутыми участками, образованными как поверхности вращения дуги окружности. В соответствии с заменой трех реберных дуг (три, имеющих общую вершину, или трех, образующих треугольник) получаются две неконгруэнтные фигуры, которые иногда называют телами Мейснера или тетраэдрами Мейснера .

Нерешенная задача по математике :

Являются ли два тетраэдра Мейснера трехмерными фигурами минимального объема и постоянной ширины?

(еще нерешенные задачи по математике)

Боннесен и Фенхель выдвинул гипотезу, что тетраэдры Мейснера представляют собой трехмерные формы минимального объема и постоянной ширины, и эта гипотеза до сих пор остается открытой. В связи с этой проблемой Кампи, Колесанти и Гронки показал, что минимальная объемная поверхность вращения постоянной ширины является поверхностью вращения треугольника Рело через одну из его осей симметрии.

Одна из Ман Рэя картин , «Гамлет» , была основана на фотографии тетраэдра Мейснера, сделанной им. который, по его мнению, напоминал череп Йорика и грудь Офелии из шекспировского « Гамлета » .

Внешние ссылки

• Лашан-Роберт, Томас; Уде, Эдуард. «Сфероформы» . Архивировано из оригинала 2 октября 2006 г. Проверено 12 сентября 2006 г.
• Вебер, Кристоф. «Тела постоянной ширины» . Есть также фильмы и даже интерактивные изображения обоих тел Мейснера.
• Робертс, Патрик. «Сфероформа с тетраэдрической симметрией» . Включает трехмерные изображения и ссылку на математическую статью, показывающую доказательство постоянной ширины.