Теорема Синга

В математике , особенно в римановой геометрии , теорема Синга является классическим результатом, связывающим кривизну риманова многообразия с его топологией . Он назван в честь Джона Лайтона Синджа , который доказал это в 1936 году .

Теорема и схема доказательства

Пусть M — замкнутое риманово многообразие положительной секционной кривизны . Теорема утверждает:

• Если M четномерно и ориентируемо , M односвязно то .
• Если M нечетномерно, то оно ориентируемо.

В частности, замкнутое многообразие четной размерности может поддерживать риманову метрику положительной кривизны только в том случае, если его фундаментальная группа состоит из одного или двух элементов.

Доказательство теоремы Синга можно резюмировать следующим образом. Учитывая геодезическую S ¹ → M с ортогональным и параллельным векторным полем вдоль геодезической (т. е. сечение нормального расслоения , параллельного геодезической), то более раннее вычисление Synge второй формулы изменения длины дуги сразу показывает, что геодезическая может быть деформирована, чтобы сократить ее длина. Единственным инструментом, используемым на этом этапе, является предположение о кривизне сечения.

Построение параллельного векторного поля вдоль любого пути происходит автоматически посредством параллельного транспорта ; нетривиальность в случае цикла заключается в том, совпадают ли значения в конечных точках. Это сводится к задаче чистой линейной алгебры : пусть V — конечномерное вещественное пространство со скалярным произведением , где T : V → V — ортогональное линейное отображение с собственным вектором v с собственным значением, равным единице. Если определитель T с собственным значением , положителен, а размерность V определитель T отрицателен, а размерность V нечетна, то существует собственный вектор w T четна или, альтернативно, если равным единице, ортогональным v . В контексте V — это касательное пространство к M в точке геодезической петли, T — параллельная транспортная карта, определенная петлей, а v — касательный вектор к геодезической.

Для любой нестягиваемой петли в полном римановом многообразии существует представитель ее (свободного) гомотопического класса, который имеет минимально возможную длину дуги и является геодезической. Согласно расчетам Синджа, это означает, что вдоль этой геодезической не может существовать параллельное и ортогональное векторное поле. Однако:

• Ориентируемость подразумевает, что параллельная транспортная карта вдоль каждого цикла имеет положительный определитель. Тогда четномерность подразумевает существование параллельного векторного поля, ортогонального геодезической.
• Неориентируемость подразумевает, что несжимаемый цикл может быть выбран так, чтобы карта параллельного переноса имела отрицательный определитель. Тогда нечетная размерность подразумевает существование параллельного векторного поля, ортогонального геодезической.

Это противоречие устанавливает отсутствие нестягиваемых петель в первом случае и невозможность неориентируемости во втором случае.

Алан Вайнштейн позже перефразировал доказательство, чтобы установить неподвижные точки , изометрий а не топологические свойства основного многообразия.

Ссылки

Источники.

• ду Карму, Манфредо Пердигао (1992). Риманова геометрия . Математика: теория и приложения (перевод со второго португальского издания оригинальной редакции 1979 г.). Бостон, Массачусетс: Биркхойзер Бостон . ISBN  978-0-8176-3490-2 . МР   1138207 . Збл   0752.53001 .
• Йост, Юрген (2017). Риманова геометрия и геометрический анализ . Universitext (Седьмое издание оригинальной редакции 1995 г.). Спрингер, Чам . дои : 10.1007/978-3-319-61860-9 . ISBN  978-3-319-61859-3 . МР   3726907 . Збл   1380.53001 .
• Петерсен, Питер (2016). Риманова геометрия . Тексты для аспирантов по математике . Том. 171 (Третье издание оригинальной редакции 1998 г.). Спрингер, Чам . дои : 10.1007/978-3-319-26654-1 . ISBN  978-3-319-26652-7 . МР   3469435 . Збл   1417.53001 .
• Synge, Джон Лайтон (1936). «О связности пространств положительной кривизны». Ежеквартальный математический журнал . Оксфордская серия. 7 (1): 316–320. дои : 10.1093/qmath/os-7.1.316 . ЖФМ   62.0861.04 . Збл   0015.41601 .