Гипотеза Хопфа

В математике гипотеза Хопфа может относиться к одному из нескольких предположений из дифференциальной геометрии и топологии, приписываемых Хайнцу Хопфу .

римановы

Гипотеза Хопфа — открытая проблема глобальной римановой геометрии. Это восходит к вопросам Хайнца Хопфа 1931 года. Современная формулировка такова:

Компактное четномерное риманово многообразие с положительной секционной кривизной имеет положительную эйлерову характеристику . Компактное (2d ) -мерное риманово многообразие отрицательной секционной кривизны имеет эйлерову характеристику знака $(-1)^{d}$.

Для поверхностей эти утверждения следуют из теоремы Гаусса–Бонне . Для четырехмерных многообразий это следует из конечности фундаментальной группы , двойственности Пуанкаре и формулы Эйлера–Пуанкаре, приравнивающей для 4-многообразий эйлерову характеристику с $b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+b_{4}$ и теорема Синга , гарантирующая, что ориентационное накрытие односвязно, так что числа Бетти обращаются в нуль $b_{1}=b_{3}=0$. Для 4-многообразий это утверждение также следует из теоремы Черна-Гаусса-Бонне , замеченной Джоном Милнором в 1955 году (записанной Шиинг-Шеном Черном в 1955 году. ). Для многообразий размерности 6 и выше гипотеза открыта. Пример Роберта Героха показал, что подынтегральная функция Черна – Гаусса – Бонне может стать отрицательной для $d>2$. Однако известно, что случай положительной кривизны справедлив для гиперповерхностей в $\mathbb {R} ^{2d+1}$ (Хопфа) или коразмерность двух поверхностей, вложенных в $\mathbb {R} ^{2d+2}$. Для достаточно защемленных многообразий положительной кривизны гипотеза Хопфа (в случае положительной кривизны) следует из теоремы о сфере , теоремы, которая также была сначала выдвинута Хопфом. Одно из направлений атак — поиск многообразий с большей симметрией. В частности, например, все известные многообразия положительной секционной кривизны допускают действие изометрической окружности. Соответствующее векторное поле называется векторным полем уничтожения . Гипотеза (для случая положительной кривизны) доказана и для многообразий размерности $4k+2$ или $4k+4$ допускающие изометрическое действие тора k -мерного тора, а для многообразий M допускающие изометрическое действие компактной группы Ли G с главной подгруппой изотропии H и когомогенностью k такие, что $k-(\operatorname {rank} G-\operatorname {rank} H)\leq 5.$ Некоторые ссылки на многообразия с некоторой симметрией: и

Об истории проблемы: Первое письменное явное появление этой гипотезы находится в трудах Немецкого математического общества . Это документ, основанный на беседах, которые Хайнц Хопф провел весной 1931 года во Фрибурге , Швейцария , и в Бад-Эльстере осенью 1931 года. Марсель Бергер обсуждает эту гипотезу в своей книге: и указывает на работу Хопфа 1920-х годов, на которую повлияли вопросы такого типа. Гипотезы перечислены как проблема 8 (случай положительной кривизны) и 10 (случай отрицательной кривизны) в «Задачи Яу» 1982 года.

многообразия неотрицательной или

Существуют аналогичные гипотезы, если позволить кривизне тоже стать нулевой. Это утверждение все же следует приписать Хопфу (например, в выступлении, сделанном в 1953 году в Италии).

Компактное четномерное риманово многообразие с неотрицательной секционной кривизной имеет неотрицательную эйлерову характеристику . Компактное (2d)-мерное риманово многообразие неположительной секционной кривизны имеет эйлерову характеристику знака $(-1)^{d}$ или ноль.

Эта версия была сформулирована как Вопрос 1 в статье. или тогда в статье Черна.

Примером подтверждения гипотезы является продукт $M=M_{1}\times M_{2}\times \cdots \times M_{d}$ двумерных многообразий со знаком кривизны $e_{k}\in \{-1,0,1\}$. Поскольку эйлерова характеристика удовлетворяет $\chi (M)=\prod _{k=1}^{d}\chi (M_{k})$ который имеет знак $\prod _{k=1}^{d}e_{k}$, гипотеза о знаке в этом случае подтверждается (если $e_{k}>0$ для всех k, тогда $\chi (M)>0$ и если $e_{k}<0$ для всех k, тогда $\chi (M)>0$ для четных d и $\chi (M)<0$ для нечетного d, и если один из $e_{k}$ равно нулю, то $\chi (M)=0$).

Автокарты 1 степени

Хопф задавался вопросом, является ли каждое непрерывное отображение ориентированного замкнутого многообразия степени 1 гомотопической эквивалентностью.

Легко видеть, что любая карта $f\colon M\to M$ степени 1 индуцирует сюръекцию на $\pi _{1}$; если нет, то $f$ факторы через нетривиальное накрывающее пространство, что противоречит предположению степени 1.

Отсюда следует, что гипотеза верна для групп Хопфа , а для них тогда получается, что $f_{*}$ является изоморфизмом на $\pi _{1}$ и, следовательно, гомотопическая эквивалентность.

Однако существуют некоторые нехопфовские группы.

о продукте продукта

Другой известный вопрос Хопфа — это гипотеза произведения Хопфа:

Может ли 4-многообразие $\mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}$ нести метрику с положительной кривизной?

Гипотеза была популяризирована в книге Громолля, Клингенберга и Мейера 1968 года. и в списке задач Яу она была отмечена как Задача 1. Шинг-Тунг Яу сформулировал там новое интересное наблюдение (которое можно было бы переформулировать как гипотезу).

Неизвестен пример компактного односвязного многообразия неотрицательной секционной кривизны, не допускающего метрики строго положительной кривизны.

В настоящее время 4-сфера $\mathbb {S} ^{4}$ и комплексная проективная плоскость $\mathbb {CP} ^{2}$ — единственные односвязные 4-многообразия, которые, как известно, допускают метрику положительной кривизны. Вольфганг Циллер однажды предположил, что это может быть полный список и что в измерении 5 единственным односвязным 5-многообразием положительной кривизны является 5-сфера. $\mathbb {S} ^{5}$. Конечно, решение гипотезы произведения Хопфа решило бы вопрос Яу. Также гипотеза Циллера о том, что $\mathbb {S} ^{4}$ и $\mathbb {CP} ^{2}$ являются единственными односвязными 4-многообразиями положительной кривизны, которые разрешат гипотезу произведения Хопфа. Вернемся к делу $\mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}$ известно : из работ Жана-Пьера Бургиньона , что в окрестности метрики произведения не существует метрики положительной кривизны. также известно Из работы Алана Вайнштейна , что если метрика задана на $\mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}$ существует с положительной кривизной, то это риманово многообразие не вкладывается в $\mathbb {R} ^{6}$. (Уже из результата Хопфа следует, что вложение в $\mathbb {R} ^{5}$ Это невозможно, поскольку тогда многообразие должно быть сферой.) Общая ссылка на многообразия с неотрицательной кривизной сечения, дающая множество примеров, такова: а также. Связанная с этим гипотеза состоит в том, что

Компактное симметрическое пространство ранга больше единицы не может содержать риманову метрику положительной секционной кривизны.

Это также означало бы, что $\mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}$ не допускает римановой метрики с положительной секционной кривизной. Итак, если взглянуть на доказательства и проделанную на данный момент работу, окажется, что на вопрос Хопфа, скорее всего, будет дан ответ в виде утверждения: «Не существует метрики положительной кривизны на поверхности». $\mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}$«потому что до сих пор теоремы Бургиньона (результат возмущения вблизи метрики произведения), Хопфа (коразмерность 1), Вайнштейна (коразмерность 2), а также теорема о сфере, исключающая защемленные положительные метрики кривизны, указывают на этот результат. метрика кривизны включена $\mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}$ конечно, было бы сюрпризом в глобальной дифференциальной геометрии, но пока не исключено, что такая метрика существует.

Наконец, можно задаться вопросом, почему может быть интересен такой особый случай, как гипотеза произведения Хопфа. Сам Хопф был мотивирован проблемами физики. Когда Хопф начал работать в середине 1920-х годов, теории относительности было всего 10 лет, и она вызвала большой интерес к дифференциальной геометрии, особенно к глобальной структуре 4-многообразий, поскольку такие многообразия появляются в космологии как модели вселенная.

Хопфа

Существует гипотеза, которая относится к гипотезе о знаке Хопфа, но вообще не относится к римановой геометрии. Асферические многообразия — это связные многообразия, у которых исчезают все высшие гомотопические группы. Тогда эйлерова характеристика должна удовлетворять тому же условию, которое, как предполагается, удовлетворяет многообразию отрицательной кривизны в римановой геометрии:

Предположим, М ^{2 тыс.} представляет собой замкнутое асферическое многообразие четной размерности. Тогда его эйлерова характеристика удовлетворяет неравенству $(-1)^{k}\chi (M^{2k})\geq 0.$

Прямая связь с римановым случаем быть не может, поскольку существуют асферические многообразия, не гомеоморфные гладкому риманову многообразию с отрицательной секционной кривизной.

Эта топологическая версия гипотезы Хопфа принадлежит Уильяму Терстону . Рут Чарни и Майкл Дэвис предположили, что то же неравенство справедливо для кусочно-евклидова (PE) многообразия неположительной кривизны.

(Несвязано:) Римановы метрики без сопряженных точек

Со словом «гипотеза Хопфа» возникла небольшая путаница, поскольку неродственный математик Эберхард Хопф и современник Хайнца Хопфа работал над такими темами, как геодезические потоки. ( Эберхард Хопф и Хайнц Хопф не связаны родственниками и, возможно, никогда не встретились бы, хотя оба были учениками Эрхарда Шмидта ). Существует теорема Эберхарда Хопфа, утверждающая, что если 2-тор $\mathbb {T} ^{2}$ не имеет сопряженных точек, то он должен быть плоским (кривизна Гаусса всюду равна нулю). Теорема Эберхарда Хопфа обобщила теорему Марстона Морса и Густава Хедлунда (аспиранта Морзе), выдвинутую годом ранее. Проблема обобщения этой гипотезы на более высокие измерения некоторое время также была известна как гипотеза Хопфа. В любом случае, теперь это теорема: риманова метрика без сопряженных точек на n-мерном торе плоская.