Фундаментальный класс

Информацию о фундаментальном классе теории поля классов см. в разделе «Формирование классов» .

В математике фундаментальным классом является класс гомологий [ M ], ассоциированный со связным ориентируемым компактным многообразием размерности n , который соответствует генератору группы гомологий. $H_{n}(M,\partial M;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z}$ . Фундаментальный класс можно рассматривать как ориентацию многомерных симплексов подходящей триангуляции многообразия.

Определение

Закрытый, регулируемый.

Когда M — связное ориентируемое замкнутое многообразие размерности n , верхняя группа гомологий является бесконечной циклической : $H_{n}(M;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z}$, а ориентация – это выбор образующего, выбор изоморфизма $\mathbf {Z} \to H_{n}(M;\mathbf {Z} )$. Генератор называется фундаментальным классом .

Если M несвязно (но все еще ориентируемо), фундаментальный класс представляет собой прямую сумму фундаментальных классов для каждого компонента связности (соответствующего ориентации каждого компонента).

По отношению к когомологиям де Рама он представляет собой интегрирование по M ; а именно, для M гладкого многообразия n -форма ω может быть спарена с фундаментальным классом как

$\langle \omega ,[M]\rangle =\int _{M}\omega \ ,$

который является интегралом от ω по M и зависит только от класса когомологий ω.

Класс Штифеля-Уитни

Если M неориентируемо, $H_{n}(M;\mathbf {Z} )\ncong \mathbf {Z}$, поэтому невозможно определить фундаментальный класс M, живущий внутри целых чисел. Однако каждое замкнутое многообразие $\mathbf {Z} _{2}$-ориентируемый, -и $H_{n}(M;\mathbf {Z} _{2})=\mathbf {Z} _{2}$ (для подключенного М ). Таким образом, каждое замкнутое многообразие $\mathbf {Z} _{2}$-ориентирован (не просто способен ориентироваться : в выборе ориентации нет двусмысленности) и имеет $\mathbf {Z} _{2}$-фундаментальный класс.

Этот $\mathbf {Z} _{2}$-фундаментальный класс используется при определении класса Стифеля-Уитни .

С границей

Если M — компактное ориентируемое многообразие с краем, то верхняя группа относительных гомологий снова является бесконечной циклической. $H_{n}(M,\partial M)\cong \mathbf {Z}$, и поэтому понятие фундаментального класса можно распространить на многообразие с граничным случаем.

Двойственность Пуанкаре

Основная статья: двойственность Пуанкаре

Теорема двойственности Пуанкаре связывает группы гомологий и когомологий n -мерных ориентированных замкнутых многообразий: если R — коммутативное кольцо , а M — n -мерное R -ориентируемое замкнутое многообразие с фундаментальным классом [M] , то для всех k отображение

$H^{k}(M;R)\to H_{n-k}(M;R)$

предоставлено

$\alpha \mapsto [M]\frown \alpha$

является изоморфизмом.

Используя понятие фундаментального класса многообразий с краем, мы можем распространить двойственность Пуанкаре и на этот случай (см. двойственность Лефшеца ). Фактически, произведение кепки с фундаментальным классом дает более сильный результат двойственности, говорящий о том, что у нас есть изоморфизмы. $H^{q}(M,A;R)\cong H_{n-q}(M,B;R)$, если предположить, что у нас есть это $A,B$ являются $(n-1)$-мерные многообразия с $\partial A=\partial B=A\cap B$ и $\partial M=A\cup B$.

См. также Искривленную двойственность Пуанкаре.

Приложения

В разложении Брюа группы многообразия флагов Ли фундаментальный верхнего измерения класс соответствует ячейке Шуберта или, что эквивалентно, самому длинному элементу группы Коксетера .

См. также

• Самый длинный элемент группы Кокстера
• Двойственность Пуанкаре

Источники

• Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология (1-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  9780521795401 . МР   1867354 .

Внешние ссылки

• Фундаментальный класс в Атласе многообразия.
• Статья в Энциклопедии математики о фундаментальном классе .