Локализованный класс Черна

В алгебраической геометрии локализованный класс Черна — это вариант класса Черна , который определен для цепного комплекса векторных расслоений, а не для одного векторного расслоения. Фултона Первоначально оно было введено в теорию пересечения . ^[1] как алгебраический аналог аналогичной конструкции в алгебраической топологии . Это понятие используется, в частности, в теореме типа Римана–Роха .

Позже С. Блох обобщил это понятие в контексте арифметических схем (схем над дедекиндовой областью) с целью дать формулу проводника #Блоха , вычисляющую непостоянство эйлеровой характеристики вырождающегося семейства алгебраических многообразий (в смешанной характеристике случай).

Определения

Пусть Y — чистомерная регулярная схема конечного типа над полем или кольцом дискретного нормирования, а X — замкнутая подсхема. Позволять $E_{\bullet }$ обозначим комплекс векторных расслоений на Y

0=E_{n-1}\to E_{n}\to \dots \to E_{m}\to E_{m-1}=0

это точно на $Y-X$ . Локализованный класс Чженя этого комплекса является классом Чоу бивариантной группы $X\subset Y$ определяется следующим образом. Позволять $\xi _{i}$ обозначим тавтологическое расслоение расслоения Грассмана $G_{i}$ ранга $\operatorname {rk} E_{i}$ подгруппы $E_{i}\otimes E_{i-1}$ . Позволять $\xi =\prod (-1)^{i}\operatorname {pr} _{i}^{*}(\xi _{i})$ . Тогда i -й локализованный класс Черна $c_{i,X}^{Y}(E_{\bullet })$ определяется по формуле:

c_{i,X}^{Y}(E_{\bullet })\cap \alpha =\eta _{*}(c_{i}(\xi )\cap \gamma )

где $\eta :G_{n}\times _{Y}\dots \times _{Y}G_{m}\to X$ это проекция и $\gamma$ представляет собой цикл, полученный из $\alpha$ с помощью так называемой графической конструкции .

Пример: локализованный класс Эйлера

Позволять $f:X\to S$ быть как в #Definitions . Если S гладко над полем, то локализованный класс Чженя совпадает с классом

(-1)^{\dim X}\mathbf {Z} (s_{f})

где, грубо говоря, $s_{f}$ - это сечение, определяемое дифференциалом f и (таким образом) $\mathbf {Z} (s_{f})$ — класс особого локуса f .

Рассмотрим бесконечномерное расслоение E над бесконечномерным многообразием M с сечением s с производной Фредгольма. На практике такая ситуация возникает всякий раз, когда мы имеем систему УЧП, которая является эллиптической, если рассматривать ее по модулю действия некоторой калибровочной группы. Тогда нулевое множество Z(s) является пространством модулей решений по калибровочному модулю, а индекс производной является виртуальной размерностью. Локализованный класс Эйлера пары (E,s) является классом гомологий с замкнутым носителем на нулевом множестве сечения. Его размерность – это индекс производной. Когда сечение трансверсально, этот класс является просто фундаментальным классом нулевого множества с правильной ориентацией. Класс хорошо себя ведет в семействах с одним параметром и, следовательно, определяет «правильный» фундаментальный цикл, даже если сечение больше не является трансверсальным.

Формула проводника Блоха

Эта формула позволяет нам вычислить проводник, который измеряет дикое ветвление, используя пучок дифференциальных 1-форм. С. Блох выдвигает гипотезу о формуле артиновского проводника ℓ-адических этальных когомологий регулярной модели многообразия над локальным полем и доказывает ее для кривой. Самый глубокий результат о блоховском проводнике — это его равенство с артиновским проводником, определяемым в некоторых случаях в терминах l-адических когомологий X.

Ссылки

^ Фултон 1998 , Пример 18.1.3.

Блох С., «Циклы на арифметических схемах и эйлеровы характеристики кривых», Алгебраическая геометрия, Боудуэн, 1985, 421–450, Proc. Симп. Чистая математика. 46, ч. 2, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 1987.
Фултон, Уильям (1998), Теория пересечений , результаты математики и ее пограничные области. 3-й эпизод. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных обзоров по математике. 2, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4 , МР 1644323 , раздел Б.7
Като К., Сайто Т. О проводниковой формуле Блоха. Опубл. Математика. IHÉS 100 (2005), 5-151.

[1] Фултон 1998 , Пример 18.1.3.

[1]