Бивариантная теория

В математике бивариантная теория была введена Фултоном и Макферсоном ( Fulton & MacPherson 1981 ), чтобы придать кольцевую структуру группе Чоу сингулярного многообразия , получившееся в результате кольцо назвали операционным кольцом Чоу .

На техническом уровне бивариантная теория представляет собой смесь теории гомологии и теории когомологий . В общем, теория гомологии — это ковариантный функтор из категории пространств в категорию абелевых групп , а теория когомологий — это контравариантный функтор из категории (хороших) пространств в категорию колец. Бивариантная теория — это функтор как ковариантный, так и контравариантный; отсюда и название «бивариант».

Определение

В отличие от теории гомологии или теории когомологий, бивариантный класс определяется для отображения, а не для пространства.

Позволять $f:X\to Y$ быть картой. Для такого отображения мы можем рассмотреть квадрат слоя

${\begin{matrix}X'&\to &Y'\\\downarrow &&\downarrow \\X&\to &Y\end{matrix}}$

(например, раздутие.) Интуитивно рассмотрение всех квадратов слоев, подобных приведенному выше, можно рассматривать как аппроксимацию отображения $f$.

Теперь бирациональный класс $f$ представляет собой семейство гомоморфизмов групп, индексированных квадратами слоев:

$A_{k}Y'\to A_{k-p}X'$

удовлетворяющие определенным условиям совместимости.

Оперативное кольцо Чоу

Основной вопрос заключался в том, существует ли карта цикла :

$A^{*}(X)\to \operatorname {H} ^{*}(X,\mathbb {Z} ).$

Если X гладкое, такое отображение существует, поскольку $A^{*}(X)$ обычным кольцом Чоу X . является ( Тотаро 2014 ) показал, что рационально не существует такого отображения с хорошими свойствами, даже если X — линейное многообразие , грубо говоря, многообразие, допускающее клеточное разложение. Воеводского Он также отмечает, что кольцо мотивных когомологий «вероятно, более полезно», чем операционное кольцо Чоу для сингулярной схемы (п. 8 цит.).

Ссылки

• Тотаро, Берт (1 июня 2014 г.). «Группы Чоу, когомологии Чоу и линейные многообразия» . Форум математики, Сигма . 2 : е17. дои : 10.1017/fms.2014.15 .
• Дэн Эдидин и Мэтью Сатриано, К пересечению когомологий Чоу для коэффициентов GIT
• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечения , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-98549-7 , МР   1644323
• Фултон, Уильям; Макферсон, Роберт (1981). Категориальная основа исследования сингулярных пространств . Американское математическое соц. ISBN  978-0-8218-2243-2 .
• Последние две лекции Вакиля, Математика 245А Темы по алгебраической геометрии: Введение в теорию пересечений в алгебраической геометрии

Внешние ссылки

• nLab- бивариантная теория когомологий