Мотивические когомологии

Мотивические когомологии — инвариант алгебраических многообразий и более общих схем . Это тип когомологий, связанных с мотивами , и в качестве частного случая включает кольцо Чоу алгебраических циклов. Некоторые из самых глубоких проблем алгебраической геометрии и теории чисел — это попытки понять мотивные когомологии.

Мотивные гомологии и когомологии

Пусть X — схема конечного типа над полем k . Ключевая цель алгебраической геометрии — вычислить группы Чоу X , дают достоверную информацию обо всех подмногообразиях X. поскольку они Группы Чоу X обладают некоторыми формальными свойствами гомологий Бореля–Мура в топологии, но некоторые вещи отсутствуют. Например, для замкнутой подсхемы Z схемы X существует точная последовательность групп Чжоу, последовательность локализации

$CH_{i}(Z)\rightarrow CH_{i}(X)\rightarrow CH_{i}(X-Z)\rightarrow 0,$

тогда как в топологии это было бы частью длинной точной последовательности .

Чоу до биградуированного семейства групп, мотивных групп гомологий (Бореля – Мура) впервые назвал высшими группами Чоу (которые Блох Эта проблема была решена путем обобщения групп ). А именно, для каждой схемы X конечного типа над полем k и целыми числами i и j мы имеем абелеву группу H _i ( X , Z ( j )), причем обычная группа Чоу является частным случаем.

$CH_{i}(X)\cong H_{2i}(X,\mathbf {Z} (i)).$

Для замкнутой подсхемы Z схемы X существует длинная точная последовательность локализации для мотивных групп гомологий, заканчивающаяся последовательностью локализации для групп Чоу:

$\cdots \rightarrow H_{2i+1}(X-Z,\mathbf {Z} (i))\rightarrow H_{2i}(Z,\mathbf {Z} (i))\rightarrow H_{2i}(X,\mathbf {Z} (i))\rightarrow H_{2i}(X-Z,\mathbf {Z} (i))\rightarrow 0.$

Фактически, это одна из семейства четырех теорий, построенных Воеводским : мотивные когомологии, мотивные когомологии с компактным носителем, мотивные гомологии Бореля-Мура (как указано выше) и мотивные гомологии с компактным носителем. Эти теории обладают многими формальными свойствами соответствующих теорий топологии. Например, мотивных когомологий группы H ^я (X, Z ( j )) образуют биградуированное кольцо для любой схемы X конечного типа над полем. Когда X является гладким размером n над k , существует двойственности Пуанкаре. изоморфизм

$H^{i}(X,\mathbf {Z} (j))\cong H_{2n-i}(X,\mathbf {Z} (n-j)).$

В частности, группа Чоу CH ^я ( X ) циклов коразмерности i изоморфен H ^22я ( X , Z ( i )) когда X гладко над k .

Мотивные когомологии H ^я ( X , Z ( j )) гладкой схемы X над k это когомологии X на в топологии Зарисского с коэффициентами из некоторого комплекса пучков Z — (j) X . (Некоторые свойства легче доказать с помощью топологии Нисневича , но это дает те же группы мотивных когомологий. ) Например, Z (j) равно нулю при j < 0, Z постоянный пучок Z , а Z (1) изоморфен в производной категории группе X G (0) — _m [−1]. Здесь G _m ( мультипликативная группа ) обозначает пучок обратимых регулярных функций , а сдвиг [−1] означает, что этот пучок рассматривается как комплекс степени 1.

Четыре версии мотивных гомологии и когомологии могут быть определены с коэффициентами в любой абелевой группе. Теории с разными коэффициентами связаны теоремой об универсальных коэффициентах , как и в топологии.

Отношения с другими теориями когомологий

Связь с K-теорией

По Блоху, Лихтенбауму , Фридлендеру , Суслину и Левину существует спектральная последовательность от мотивных когомологий до алгебраической K-теории для каждой гладкой схемы X над полем, аналогичная спектральной последовательности Атьи-Хирцебруха в топологии:

$E_{2}^{pq}=H^{p}(X,\mathbf {Z} (-q/2))\Rightarrow K_{-p-q}(X).$

Как и в топологии, спектральная последовательность вырождается после тензорирования с рациональными числами. Для произвольных схем конечного типа над полем (не обязательно гладких) существует аналогичная спектральная последовательность от мотивных гомологий до G-теории (K-теории когерентных пучков , а не векторных расслоений ).

Связь с К-теорией Милнора

Мотивические когомологии уже обеспечивают богатый инвариант для полей. (Заметим, что поле k определяет схему Spec( k ), для которой определены мотивные когомологии.) Хотя мотивные когомологии H ^я ( k , Z ( j )) для полей k вообще далеко не понятно, есть описание, когда i = j :

$K_{j}^{M}(k)\cong H^{j}(k,\mathbf {Z} (j)),$

где К _j ^М ( k ) — j -я K-группа Милнора для k . Поскольку K-теория Милнора поля явно определяется генераторами и соотношениями, это полезное описание одной части мотивных когомологий k .

Карта для распространения когомологий

Пусть X — гладкая схема над полем k , и пусть m — целое положительное число, обратимое по k . Тогда существует естественный гомоморфизм ( отображение цикла ) от мотивных когомологий к этальным когомологиям :

$H^{i}(X,\mathbf {Z} /m(j))\rightarrow H_{et}^{i}(X,\mathbf {Z} /m(j)),$

где Z / m ( j ) справа означает этальный пучок ( _μm ) ^{⊗ j} , где μ _m — корни m- й степени из единицы. Это обобщает отображение цикла кольца Чжоу гладкого многообразия на этальные когомологии.

Частой целью в алгебраической геометрии или теории чисел является вычисление мотивных когомологий, тогда как этальные когомологии часто легче понять. Например, если базовым полем k являются комплексные числа, то этальные когомологии совпадают с сингулярными когомологиями (с конечными коэффициентами). Мощный результат, доказанный Воеводским, известный как гипотеза Бейлинсона-Лихтенбаума , гласит, что многие мотивные группы когомологий на самом деле изоморфны этальным группам когомологий. Это является следствием теоремы об изоморфизме норм вычетов . А именно, гипотеза Бейлинсона-Лихтенбаума (теорема Воеводского) гласит, что для гладкой схемы X над полем k и m, положительным целым числом, обратимым в k , отображение цикла

$H^{i}(X,\mathbf {Z} /m(j))\rightarrow H_{et}^{i}(X,\mathbf {Z} /m(j))$

является изоморфизмом для всех j ≥ i и инъективен для всех j ≥ i − 1.

Отношение к мотивам

Для любого поля k и коммутативного кольца R Воеводский определил R -линейную триангулированную категорию , называемую производной категорией мотивов над k с коэффициентами из R , DM( k ; R ). Каждая схема X над k определяет два объекта в DM, называемые мотивом X мотивом , M( X ), и компактным носителем с X , M. ^с ( Х ); они изоморфны, если X является собственным над k .

Одним из основных моментов производной категории мотивов является то, что все четыре типа мотивных гомологий и мотивных когомологий возникают как наборы морфизмов в этой категории. Чтобы описать это, сначала отметим, что существуют мотивы Тейта R ( j ) в DM( k ; R ) для всех целых j , такие, что мотив проективного пространства является прямой суммой мотивов Тейта:

$M(\mathbf {P} _{k}^{n})\cong \oplus _{j=0}^{n}R(j)[2j],$

где M ↦ M [1] обозначает сдвиг или «функтор перевода» в триангулированной категории DM( k ; R ). В этих терминах мотивные когомологии (например) задаются формулой

$H^{i}(X,R(j))\cong {\text{Hom}}_{DM(k;R)}(M(X),R(j)[i])$

для любой схемы X конечного типа над k .

Когда коэффициенты R являются рациональными числами, современная версия гипотезы Бейлинсона предсказывает, что подкатегория компактных объектов в DM(k; Q ) эквивалентна ограниченной производной категории абелевой категории MM( k ), категории смешанные мотивы над k . В частности, эта гипотеза будет означать, что группы мотивных когомологий можно отождествить с группами Ext в категории смешанных мотивов. Это далеко не известно. Конкретно, гипотеза Бейлинсона подразумевала бы Бейлинсона- Суле гипотезу о том, что H ^я (X, Q ( j )) равен нулю при i < 0, что известно лишь в немногих случаях.

И наоборот, вариант гипотезы Бейлинсона-Суле вместе со стандартными гипотезами Гротендика и гипотезами Мюрра о мотивах Чоу подразумевал бы существование абелевой категории MM ( k ) как сердцевины t-структуры на DM ( k ; Q ). . Потребуется больше, чтобы идентифицировать группы Ext в MM ( k ) с мотивными когомологиями.

Для подполя комплексных чисел k Нори определил кандидата в абелеву категорию смешанных мотивов. Если категория MM ( k ) с ожидаемыми свойствами существует (в частности, что функтор реализации Бетти из MM ( k ) в Q -векторные пространства является точным ), то она должна быть эквивалентна категории Нори.

Приложения к арифметической геометрии

Значения L-функций

Пусть X — гладкое проективное многообразие над числовым полем. Гипотеза Блоха-Като о значениях L-функций предсказывает, что порядок исчезновения L-функции от X в целой точке равен рангу подходящей группы мотивных когомологий. Это одна из центральных проблем теории чисел, включающая в себя более ранние гипотезы Делиня и Бейлинсона. Гипотеза Берча –Свиннертона–Дайера представляет собой особый случай. Точнее, гипотеза предсказывает старший коэффициент L-функции в целочисленной точке с точки зрения регуляторов и пары высот на мотивных когомологиях.

История

Первым явным признаком возможного обобщения групп Чоу на более общую мотивную теорию когомологий для алгебраических многообразий было алгебраической определение Квиллена и развитие K-теории (1973), обобщающей группу Гротендика K ₀ векторных расслоений. В начале 1980-х Бейлинсон и Соуле заметили, что операции Адамса дают расщепление алгебраической K-теории, тензорной с рациональными числами; слагаемые теперь называются мотивными когомологиями (с рациональными коэффициентами). Бейлинсон и Лихтенбаум выдвинули влиятельные гипотезы, предсказывающие существование и свойства мотивных когомологий. Большинство, но не все их гипотезы теперь доказаны.

Определение Блоха высших групп Чоу (1986) было первым интегральным (в отличие от рационального) определением мотивных гомологий для схем над полем k (и, следовательно, мотивных когомологий в случае гладких схем). Определение высших групп Чоу X является естественным обобщением определения групп Чоу, включающим алгебраические циклы на произведении X с аффинным пространством, которые пересекаются с набором гиперплоскостей (рассматриваемых как грани симплекса ) в ожидаемом измерении.

Наконец, Воеводский (основываясь на своей работе с Суслиным) в 2000 году определил четыре типа мотивных гомологий и мотивных когомологий, а также производную категорию мотивов. Соответствующие категории были также определены Ханамурой и Левином.

Работа Эльманто и Морроу расширил конструкцию мотивных когомологий на произвольные квазикомпактные квазиразделенные схемы над полем.

Ссылки

• Блох, Спенсер (1986), «Алгебраические циклы и высшая K -теория», Advance in Mathematics , 61 (3): 267–304, doi : 10.1016/0001-8708(86)90081-2 , ISSN   0001-8708 , MR   0852815
• Ханамура, Масаки (1999), «Смешанные мотивы и алгебраические циклы III», Mathematical Research Letters , 6 : 61–82, doi : 10.4310/MRL.1999.v6.n1.a5 , MR   1682709
• Яннсен, Уве (1994), «Мотивические пучки и фильтрации на группах Чоу», Мотивы , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 245–302, ISBN  978-0-8218-1637-0 , МР   1265533
• Мацца, Карло; Воеводский Владимир ; Вейбель, Чарльз (2006), Конспекты лекций по мотивным когомологиям , Монографии Clay Mathematics Monographys , vol. 2, Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-3847-1 , МР   2242284
• Воеводский, Владимир (2000), «Триангулированные категории мотивов над полем», Циклы, переносы и теории мотивной гомологии , Princeton University Press , стр. 188–238, ISBN  9781400837120 , МР   1764202
• Воеводский, Владимир (2011), «О мотивных когомологиях с коэффициентами Z / l », Анналы математики , 174 : 401–438, arXiv : 0805.4430 , doi : 10.4007/annals.2011.174.1.11 , MR   2811603 , S2CID   15583705
• Левин, Марк (12 июля 2022 г.). «СМОТРЕТЬ: Мотивические когомологии: прошлое, настоящее и будущее» (видео) . youtube.com . Международный математический союз .

См. также

• Предварительный пучок с передачами
• A¹ гомотопическая теория

Внешние ссылки

• Хубер, Аннетт; Мюллер-Штах, Стефан (2011), О связи между мотивами Нори и периодами Концевичей , arXiv : 1105.0865 , Бибкод : 2011arXiv1105.0865H
• Левин, Марк, K-теория и мотивные когомологии схем I (PDF)
• Нори, Мадхав, Лекции на TIFR , заархивировано из оригинала 22 сентября 2016 г.
• Харрер Даниэль, Сравнение категорий мотивов, определенных Воеводским и Нори
• Веслава Низёл, p-адические мотивные когомологии в арифметике