Высота Нерона – Тейта

В теории чисел высота Нерона -Тейта (или каноническая высота ) представляет собой квадратичную форму на группе Морделла-Вейля рациональных точек абелева многообразия, определенного над глобальным полем . Он назван в честь Андре Нерона и Джона Тейта .

Определение и свойства

Нерон определил высоту Нерона – Тейта как сумму местных высот. Хотя глобальная высота Нерона – Тейта квадратична, составляющие ее локальные высоты не совсем квадратичны. Тейт (неопубликовано) определил его глобально, заметив, что логарифмическая высота $h_{L}$ связанный с симметричным обратимым пучком $L$ на абелевом многообразии $A$ является «почти квадратичным», и использовал это, чтобы показать, что предел

${\hat {h}}_{L}(P)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {h_{L}(NP)}{N^{2}}}$

существует, определяет квадратичную форму на группе рациональных точек Морделла – Вейля и удовлетворяет условиям

${\hat {h}}_{L}(P)=h_{L}(P)+O(1),$

где подразумевается $O(1)$ константа не зависит от $P$. Если $L$ антисимметричен, то есть $[-1]^{*}L=L^{-1}$, то аналогичный предел

${\hat {h}}_{L}(P)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {h_{L}(NP)}{N}}$

сходится и удовлетворяет ${\hat {h}}_{L}(P)=h_{L}(P)+O(1)$, но в этом случае ${\hat {h}}_{L}$ — линейная функция на группе Морделла-Вейля. Для общих обратимых пучков пишут $L^{\otimes 2}=(L\otimes [-1]^{*}L)\otimes (L\otimes [-1]^{*}L^{-1})$ как произведение симметричного и антисимметричного пучков, а затем

${\hat {h}}_{L}(P)={\frac {1}{2}}{\hat {h}}_{L\otimes [-1]^{*}L}(P)+{\frac {1}{2}}{\hat {h}}_{L\otimes [-1]^{*}L^{-1}}(P)$

— единственная квадратичная функция, удовлетворяющая

${\hat {h}}_{L}(P)=h_{L}(P)+O(1)\quad {\mbox{and}}\quad {\hat {h}}_{L}(0)=0.$

Высота Нерона–Тейта зависит от выбора обратимого пучка на абелевом многообразии, хотя связанная с ним билинейная форма зависит только от образа $L$ в Нерона -Севери группа $A$. Если абелевое многообразие $A$ определен над числовым полем K , а обратимый пучок симметричен и обилен, то высота Нерона–Тейта положительно определена в том смысле, что она обращается в нуль только на крученых элементах группы Морделла–Вейля $A(K)$. В более общем смысле, ${\hat {h}}_{L}$ индуцирует положительно определенную квадратичную форму в действительном векторном пространстве $A(K)\otimes \mathbb {R}$.

На эллиптической кривой группа Нерона–Севери имеет ранг один и имеет уникальный обильный генератор, поэтому этот генератор часто используется для определения высоты Нерона–Тейта, которая обозначается ${\hat {h}}$ без привязки к конкретному линейному пакету. (Однако высота, которая естественным образом появляется в формулировке гипотезы Берча и Суиннертона-Дайера, вдвое превышает эту высоту.) В абелевых многообразиях более высокой размерности не обязательно должен быть какой-то конкретный выбор наименьшего достаточного линейного расслоения, которое будет использоваться при определении Высота Нерона–Тейта, а высота, используемая в формулировке гипотезы Берча–Суиннертона–Дайера, представляет собой высоту Нерона–Тейта, связанную с линейным расслоением Пуанкаре на $A\times {\hat {A}}$, продукт $A$ с его двойником .

Эллиптический и абелев регуляторы

Билинейная форма, связанная с канонической высотой ${\hat {h}}$ на эллиптической кривой E есть

$\langle P,Q\rangle ={\frac {1}{2}}{\bigl (}{\hat {h}}(P+Q)-{\hat {h}}(P)-{\hat {h}}(Q){\bigr )}.$

Эллиптический регулятор E ​ / K ​

$\operatorname {Reg} (E/K)=\det {\bigl (}\langle P_{i},P_{j}\rangle {\bigr )}_{1\leq i,j\leq r},$

где P ₁ ,..., Pr _— базис группы Морделла–Вейля E ( K ) по модулю кручения (см. определитель Грама ). Эллиптический регулятор не зависит от выбора базиса.

В более общем смысле, пусть A / K — абелевое многообразие, пусть B ≅ Pic ⁰ ( A ) — абелево многообразие, двойственное к , и пусть P — линейное расслоение Пуанкаре на A × B. A Тогда абелев регулятор A K / K определяется выбором базиса Q ₁ ,..., Q _r для группы Морделла–Вейля A ( ) по модулю кручения и базиса η ₁ ,..., η _r для группы Морделла – Группа Вейля B ( K ) по модулю кручения и настройки

$\operatorname {Reg} (A/K)=\det {\bigl (}\langle Q_{i},\eta _{j}\rangle _{P}{\bigr )}_{1\leq i,j\leq r}.$

(Определения эллиптического и абелева регулятора не совсем согласованы, так как если А — эллиптическая кривая, то последняя равна 2 ^р раза больше предыдущего.)

Эллиптические и абелевы регуляторы появляются в гипотезе Берча-Суиннертона-Дайера .

Нижние оценки высоты Нерона–Тейта

Существуют две фундаментальные гипотезы, которые дают нижние оценки высоты Нерона – Тейта. В первом случае поле K фиксировано, а эллиптическая кривая E / K и точка P ∈ E ( K ) изменяются, тогда как во втором случае ( эллиптическая гипотеза Лемера) кривая E / K фиксирована, а поле определения точка P варьируется.

• (только)     ${\hat {h}}(P)\geq c(K)\log \max {\bigl \{}\operatorname {Norm} _{K/\mathbb {Q} }\operatorname {Disc} (E/K),h(j(E)){\bigr \}}\quad$ для всех $E/K$ и все без перекручивания $P\in E(K).$
• (Лемер)      ${\hat {h}}(P)\geq {\frac {c(E/K)}{[K(P):K]}}$ для всех без перекручивания $P\in E({\bar {K}}).$

В обеих гипотезах константы положительны и зависят только от указанных величин. (Более сильная форма гипотезы Ланга утверждает, что $c$ зависит только от степени $[K:\mathbb {Q} ]$.) Известно, что abc из гипотезы следует гипотеза Ланга и что аналог гипотезы Ланга над одномерными функциональными полями характеристики 0 безусловно верен. Лучшим общим результатом по гипотезе Лемера является более слабая оценка ${\hat {h}}(P)\geq c(E/K)/[K(P):K]^{3+\varepsilon }$ голубь две мессы . Когда эллиптическая кривая имеет комплексное умножение , это было улучшено до ${\hat {h}}(P)\geq c(E/K)/[K(P):K]^{1+\varepsilon }$ Лорана. Аналогичные гипотезы существуют и для абелевых многообразий, в которых условие некручения заменено условием, что кратные $P$ образуют плотное по Зарискому подмножество $A$, а нижняя граница в гипотезе Ланга заменена на ${\hat {h}}(P)\geq c(K)h(A/K)$, где $h(A/K)$ Фальтингса высота ​ $A/K$.

Обобщения

Поляризованная алгебраическая динамическая система представляет собой тройку $(V,\varphi ,L)$ состоящее из (гладкого проективного) алгебраического многообразия $V$, эндоморфизм $\varphi :V\to V$и линейный пучок $L\to V$ с имуществом, которое $\varphi ^{*}L=L^{\otimes d}$ для некоторого целого числа $d>1$. Соответствующая каноническая высота определяется пределом Тейта

${\hat {h}}_{V,\varphi ,L}(P)=\lim _{n\to \infty }{\frac {h_{V,L}(\varphi ^{(n)}(P))}{d^{n}}},$

где $\varphi ^{(n)}=\varphi \circ \cdots \circ \varphi$ это n -кратная итерация $\varphi$. Например, любой морфизм $\varphi :\mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{n}$ степени $d>1$ дает каноническую высоту, связанную с отношением линейного расслоения $\varphi ^{*}{\mathcal {O}}(1)={\mathcal {O}}(n)$. Если $V$ определяется над числовым полем и $L$ обильно, то каноническая высота неотрицательна и

${\hat {h}}_{V,\varphi ,L}(P)=0~~\Longleftrightarrow ~~P{\text{ is preperiodic for }}\varphi .$

( $P$ является предпериодическим, если его передняя орбита $P,\varphi (P),\varphi ^{2}(P),\varphi ^{3}(P),\ldots$ содержит лишь конечное число различных точек.)

Ссылки

Общие ссылки по теории канонических высот

• Бомбьери, Энрико ; Габлер, Уолтер (2006). Высоты в диофантовой геометрии . Новые математические монографии. Том. 4. Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-71229-3 . Збл   1130.11034 .
• Хиндри, Марк; Сильверман, Джозеф Х. (2000). Диофантова геометрия: Введение . Тексты для аспирантов по математике . Том. 201. ИСБН  0-387-98981-1 . Збл   0948.11023 .
• Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии . Спрингер-Верлаг . ISBN  3-540-61223-8 . Збл   0869.11051 .
• Дж. Х. Сильверман, Арифметика эллиптических кривых , ISBN   0-387-96203-4

Внешние ссылки

• «Каноническая высота на эллиптической кривой» . ПланетаМатематика .