Гармонический полином

В математике полином ​ $p$ которого Лапласиан равен нулю, называется гармоническим полиномом .

Гармонические полиномы образуют подпространство векторного пространства полиномов над данным полем . Фактически они образуют градуированное подпространство . Для реального поля ( $\mathbb {R}$), гармонические полиномы важны в математической физике.

Лапласиан представляет собой сумму частных производных второго порядка по каждой из переменных и является инвариантным дифференциальным оператором под действием ортогональной группы через группу вращений.

Стандартная теорема о разделении переменных утверждает, что каждый многомерный многочлен над полем можно разложить как конечную сумму произведений радиального многочлена и гармонического многочлена. Это эквивалентно утверждению, что кольцо многочленов является свободным модулем над кольцом радиальных многочленов.

Примеры

Рассмотрим степень- $d$ одномерный полином $p(x):=\textstyle \sum _{k=0}^{d}a_{k}x^{k}$. Чтобы быть гармоничным, этот многочлен должен удовлетворять

Действительные гармонические полиномы от двух переменных до степени 6, построенные на единичном круге.

$$0={\tfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}p(x)=\sum _{k=2}^{d}k(k-1)a_{k}x^{k-2}$$во всех точках $x\in \mathbb {R}$. В частности, когда $d=2$, у нас есть полином $p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}$, которое должно удовлетворять условию $a_{2}=0$. Следовательно, единственными гармоническими полиномами одной (действительной) переменной являются аффинные функции. $x\mapsto a_{0}+a_{1}x$.

В случае многих переменных находятся нетривиальные пространства гармонических полиномов. Рассмотрим, например, двумерный квадратичный многочлен $$p(x,y):=a_{0,0}+a_{1,0}x+a_{0,1}y+a_{1,1}xy+a_{2,0}x^{2}+a_{0,2}y^{2},$$где $a_{0,0},a_{1,0},a_{0,1},a_{1,1},a_{2,0},a_{0,2}$ являются действительными коэффициентами. Лапласиан этого многочлена определяется выражением $$\Delta p(x,y)={\tfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}p(x,y)+{\tfrac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}p(x,y)=2(a_{2,0}+a_{0,2}).$$

Следовательно, для того, чтобы $p(x,y)$ чтобы быть гармоничным, его коэффициенты должны удовлетворять только соотношению $a_{2,0}=-a_{0,2}$. Эквивалентно, все (действительные) квадратичные двумерные гармонические полиномы представляют собой линейные комбинации полиномов. $$1,\quad x,\quad y,\quad xy,\quad x^{2}-y^{2}.$$

Обратите внимание, что, как и в любом векторном пространстве, для этого же пространства полиномов существуют другие варианты базиса.

Основа действительных двумерных гармонических полиномов до 6-й степени задается следующим образом: $${\begin{aligned}\phi _{0}(x,y)&=1\\\phi _{1,1}(x,y)&=x&\phi _{1,2}(x,y)&=y\\\phi _{2,1}(x,y)&=xy&\phi _{2,2}(x,y)&=x^{2}-y^{2}\\\phi _{3,1}(x,y)&=y^{3}-3x^{2}y&\phi _{3,2}(x,y)&=x^{3}-3xy^{2}\\\phi _{4,1}(x,y)&=x^{3}y-xy^{3}&\phi _{4,2}(x,y)&=-x^{4}+6x^{2}y^{2}-y^{4}\\\phi _{5,1}(x,y)&=5x^{4}y-10x^{2}y^{3}+y^{5}&\phi _{5,2}(x,y)&=x^{5}-10x^{3}y^{2}+5xy^{4}\\\phi _{6,1}(x,y)&=3x^{5}y-10x^{3}y^{3}+3xy^{5}&\phi _{6,2}(x,y)&=-x^{6}+15x^{4}y^{2}-15x^{2}y^{4}+y^{6}\end{aligned}}$$

См. также

• Гармоническая функция
• Сферические гармоники
• Зональные сферические гармоники
• Полилинейный полином

Ссылки

• Представления группы Ли полиномиальных колец Бертрама Костанта, опубликованные в Американском журнале математики, том 85, № 3 (июль 1963 г.) дои : 10.2307/2373130