Зональные сферические гармоники
В математическом исследовании вращательной симметрии зональные сферические гармоники представляют собой особые сферические гармоники , инвариантные относительно вращения вокруг определенной фиксированной оси. Зональные сферические функции представляют собой широкое расширение понятия зональных сферических гармоник, позволяющее создать более общую группу симметрии .
На двумерной сфере уникальная зональная сферическая гармоника степени ℓ, инвариантная относительно вращений, фиксирующих северный полюс, представлена в сферических координатах выражением где P ℓ — полином Лежандра степени ℓ . Общая зональная сферическая гармоника степени ℓ обозначается , где x — точка на сфере, представляющая фиксированную ось, а y — переменная функции. Этого можно добиться вращением основной зональной гармоники.
В n -мерном евклидовом пространстве зональные сферические гармоники определяются следующим образом. Пусть x — точка на ( n −1)-сфере. Определять быть двойственным представлением линейного функционала в конечномерном гильбертовом пространстве H ℓ сферических гармоник степени ℓ. Другими словами, имеет место следующее свойство воспроизводства : для всех Y ∈ ЧАС ℓ . Интеграл берется по инвариантной вероятностной мере.
Связь с гармоническими потенциалами
[ редактировать ]Зональные гармоники естественным образом появляются как коэффициенты ядра Пуассона для единичного шара в R н : для x и y единичных векторов , где — площадь поверхности (n-1)-мерной сферы. Они также связаны с ядром Ньютона через где x , y ∈ R н а константы c n , k определяются выражениями
Коэффициенты ряда Тейлора ядра Ньютона (при подходящей нормировке) представляют собой в точности ультрасферические полиномы . Таким образом, зональные сферические гармоники можно выразить следующим образом. Если α = ( n −2)/2 , то где c n , ℓ — константы, указанные выше, и — ультрасферический полином степени ℓ.
Характеристики
[ редактировать ]- Зональные сферические гармоники инвариантны относительно вращения, что означает, что для каждого ортогонального преобразования R . И наоборот, любая функция f ( x , y ) на S п -1 × S п -1 которая является сферической гармоникой по y для каждого фиксированного x и удовлетворяет этому свойству инвариантности, является постоянным кратным зональной гармоники степени ℓ .
- Если Y 1 , ..., d — ортонормированный базис H ℓ Y , то
- Оценка при x = y дает
Ссылки
[ редактировать ]- Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье в евклидовых пространствах , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9 .