Jump to content

Зональные сферические гармоники

В математическом исследовании вращательной симметрии зональные сферические гармоники представляют собой особые сферические гармоники , инвариантные относительно вращения вокруг определенной фиксированной оси. Зональные сферические функции представляют собой широкое расширение понятия зональных сферических гармоник, позволяющее создать более общую группу симметрии .

На двумерной сфере уникальная зональная сферическая гармоника степени ℓ, инвариантная относительно вращений, фиксирующих северный полюс, представлена ​​в сферических координатах выражением где P полином Лежандра степени . Общая зональная сферическая гармоника степени ℓ обозначается , где x — точка на сфере, представляющая фиксированную ось, а y — переменная функции. Этого можно добиться вращением основной зональной гармоники.

В n -мерном евклидовом пространстве зональные сферические гармоники определяются следующим образом. Пусть x — точка на ( n −1)-сфере. Определять быть двойственным представлением линейного функционала в конечномерном гильбертовом пространстве H сферических гармоник степени ℓ. Другими словами, имеет место следующее свойство воспроизводства : для всех Y ЧАС . Интеграл берется по инвариантной вероятностной мере.

Связь с гармоническими потенциалами

[ редактировать ]

Зональные гармоники естественным образом появляются как коэффициенты ядра Пуассона для единичного шара в R н : для x и y единичных векторов , где — площадь поверхности (n-1)-мерной сферы. Они также связаны с ядром Ньютона через где x , y R н а константы c n , k определяются выражениями

Коэффициенты ряда Тейлора ядра Ньютона (при подходящей нормировке) представляют собой в точности ультрасферические полиномы . Таким образом, зональные сферические гармоники можно выразить следующим образом. Если α = ( n −2)/2 , то где c n , — константы, указанные выше, и — ультрасферический полином степени ℓ.

Характеристики

[ редактировать ]
  • Зональные сферические гармоники инвариантны относительно вращения, что означает, что для каждого ортогонального преобразования R . И наоборот, любая функция f ( x , y ) на S п -1 × S п -1 которая является сферической гармоникой по y для каждого фиксированного x и удовлетворяет этому свойству инвариантности, является постоянным кратным зональной гармоники степени .
  • Если Y 1 , ..., d ортонормированный базис H Y , то
  • Оценка при x = y дает
  • Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье в евклидовых пространствах , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08078-9 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: d6289ef5b4dd0200759117a4c4261232__1699339260
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/d6/32/d6289ef5b4dd0200759117a4c4261232.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Zonal spherical harmonics - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)