Ньютоновский потенциал

В математике ньютоновский потенциал или ньютон потенциал является оператором в векторном исчислении , который действует как обратный к негативному лапласиану , на функциях, которые являются гладкими и достаточно быстро распаданы в бесконечности. Таким образом, это фундаментальный объект изучения потенциальной теории . По своему общему характеру, это единственный интегральный оператор , определяемый сверткой с функцией, обладающей математической сингулярностью в The Origin, ньютоновском ядре $\Gamma$ которое является фундаментальным решением уравнения Лапласа . Он назван в честь Исаака Ньютона , который впервые обнаружил его и доказал, что это была гармоническая функция в особом случае трех переменных , где он служил фундаментальным гравитационным потенциалом в законе универсальной гравитации Ньютона . В современной потенциальной теории ньютоновский потенциал вместо этого считается электростатическим потенциалом .

Ньютоновский потенциал компактно поддерживаемой интегрируемой функции $f$ определяется как свертка $$u(x)=\Gamma *f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\Gamma (x-y)f(y)\,dy$$ где ньютоновское ядро $\Gamma$ в измерении $d$ определяется $$\Gamma (x)={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }}\log {|x|},&d=2,\\{\frac {1}{d(2-d)\omega _{d}}}|x|^{2-d},&d\neq 2.\end{cases}}$$

Здесь ω _D -объем блока D -Ball (иногда могут отличаться соглашения; сравнить ( Evans 1998 ) и ( Gilbarg & Trudinger 1983 )). Например, для $d=3$ у нас есть $\Gamma (x)=-1/(4\pi |x|).$

Ньютоновский потенциал w из F является решением уравнения Пуассона $$\Delta w=f,$$ то есть, что операция по получению ньютоновского потенциала функции является частичной обратной для оператора Лапласа. Тогда W будет классическим решением, которое в два раза дифференцируется, если F ограничен и локально непрерывно, как показано Отто Хёлдером . Был открытым вопросом, является ли достаточная непрерывность достаточной. Было показано, что это было неправильно от Хенрика Петрини , который привел пример непрерывного F, для которого W не является в два раза дифференцировать. Решение не является уникальным, поскольку добавление любой гармонической функции в W не повлияет на уравнение. Этот факт может быть использован, чтобы доказать существование и уникальность решений задачи Дирихле для уравнения Пуассона в соответствующих регулярных областях, а также для соответствующих функций, связанных с благополучием, F : один сначала применяет ньютоновский потенциал для получения решения, а затем корректируется, добавив добавление. Гармоническая функция для получения правильных данных границ.

Ньютоновский потенциал определяется в более широком смысле как свертка $$\Gamma *\mu (x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\Gamma (x-y)\,d\mu (y)$$ Когда μ является компактно подтвержденной мерой радона . Он удовлетворяет уравнению Пуассона $$\Delta w=\mu$$ в смысле распределений . Более того, когда мера положительная , ньютоновский потенциал является субхармоничным на R ^{дюймовый} .

Если F является компактно поддерживаемой непрерывной функцией (или, в целом, конечной мерой), которая является вращательной инвариантом , то свертка F с γ удовлетворяет x за пределами поддержки F $$f*\Gamma (x)=\lambda \Gamma (x),\quad \lambda =\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(y)\,dy.$$

В измерении d = 3 это сводится к теореме Ньютона, что потенциальная энергия небольшой массы за пределами гораздо большей сферически симметричной распределения массы такая же, как если бы вся масса более крупного объекта была сосредоточена в его центре.

Когда мера μ связана с массовым распределением на достаточно гладкой гиперповерхности ( поверхность Ляпунова в классе Cölder Class C ^{1, а} ), который делит r ^{дюймовый} В две области D ₊ и D _- , затем ньютоновский потенциал μ называется простым потенциалом слоя . Простые потенциалы слоя непрерывны и решают уравнение Лапласа за исключением S. , Они естественным образом появляются при изучении электростатики в контексте электростатического потенциала, связанного с распределением заряда на закрытой поверхности. Если d μ = f d h является произведением непрерывной функции на S с ( d -1)-мерной хаусдорфа , то в точке y s измерением нормальное производное подвергается разрыву прыжка f ( y ) при пересечении слой. Кроме того, нормальная производная W является четко определенной непрерывной функцией на s . Это делает простые слои, особенно подходящими для изучения проблемы Неймана для уравнения Лапласа.

Смотрите также

• Двойной потенциал слоя
• Функция Грина
• Потенциал Риза
• Функция Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными

Ссылки

• Эванс, Л.К. (1998), Уравнения по дифференциалам частично , Провидение: Американское математическое общество, ISBN  0-8218-0772-2 .
• Гилбарг, Д.; Trudinger, Neil (1983), Эллиптические уравнения по дифференциалам частичности , Нью -Йорк: Springer, ISBN  3-540-41160-7 .
• Соломенцев, Эд (2001) [1994], «Ньютон Потенциал» , Энциклопедия математики , Ems Press
• Solomentsev, Ed (2001) [1994], «Простой потенциал» , Энциклопедия математики , Ems Press
• Соломенцев, Эд (2001) [1994], «Потенциал поверхности» , Энциклопедия математики , EMS Press