оператор Панейца

В математической области дифференциальной геометрии оператор Панейца четвертого порядка — это дифференциальный оператор , определенный на римановом многообразии размерности n . Он назван в честь Стивена Панейца , который открыл его в 1983 году и чей препринт позже был посмертно опубликован в Paneitz 2008 . Фактически этот же оператор был найден ранее в контексте конформной супергравитации и Э. Фрадкиным А. Цейтлиным в 1982 г.(Phys Lett B 110 (1982) 117 и Nucl Phys B 1982 (1982) 157).Оно определяется формулой

P=\Delta ^{2}-\delta \left\{(n-2)J-4V\cdot \right\}d+(n-4)Q

где Δ — оператор Лапласа–Бельтрами , d — внешняя производная , δ — ее формальный сопряженный, V — тензор Схоутена , J — след тензора Схоутена, а точка обозначает сжатие тензора по любому индексу. Здесь Q — скалярный инвариант

(-4|V|^{2}+nJ^{2}+2\Delta J)/4,

где ∆ — положительный лапласиан. В четырех измерениях это дает Q-кривизну .

Оператор особенно важен в конформной геометрии , поскольку в соответствующем смысле он зависит только от конформной структуры . Другой оператор такого рода — конформный лапласиан . Но, в то время как конформный лапласиан имеет второй порядок, с ведущим символом, кратным оператору Лапласа-Бельтрами, оператор Панейца имеет четвертый порядок, с ведущим символом, равным квадрату оператора Лапласа-Бельтрами. Оператор Панейца конформно инвариантен в том смысле, что он переводит конформные плотности веса 2 − n /2 в конформные плотности веса −2 − n /2 . Конкретно, используя каноническую тривиализацию расслоений плотности при наличии метрики, оператор Панейца P можно представить в терминах представителя римановой метрики g как обычного оператора на функциях, который преобразуется согласно конформной замене g ↦ Ω ²г по правилу

\Omega ^{n/2+2}P(g)\phi =P(\Omega ^{2}g)\Omega ^{n/2-2}\phi .\,

Первоначально оператор был получен путем специальной разработки поправочных членов низшего порядка, чтобы обеспечить конформную инвариантность. Последующие исследования поместили оператор Панейца в иерархию аналогичных конформно-инвариантных операторов плотностей: операторов GJMS .

Оператор Панейца наиболее подробно изучен в размерности четыре, где он естественным образом появляется в связи с экстремальными задачами для функционального определителя лапласиана (через формулу Полякова ; см. Брэнсон и Эрстед, 1991 ). Только в четвертом измерении оператор Панейца является «критическим» оператором GJMS, а это означает, что существует остаточный скалярный фрагмент ( кривизна Q ), который можно восстановить только с помощью асимптотического анализа. Оператор Панейца появляется в экстремальных задачах для неравенства Мозера – Трудингера также в четвертом измерении ( Chang 1999 ).

Оператор Ч.Р. Панейца

Существует тесная связь между 4-мерной конформной геометрией и 3-мерной CR-геометрией, связанной с изучением CR-многообразий . Существует естественно определенный оператор четвертого порядка на CR-многообразиях, введенный К. Робином Грэмом и Джоном Ли , который обладает многими свойствами, подобными классическому оператору Панейца, определенному на 4-мерных римановых многообразиях. ^[1] Этот оператор в CR-геометрии называется оператором CR Панейца . Оператор, определенный Грэмом и Ли, хотя и определен на всех нечетномерных CR-многообразиях, не известен как конформно-ковариантный в действительной размерности 5 и выше. Конформная ковариация этого оператора была установлена в действительном измерении 3 Кенго Хирачи . Это всегда неотрицательный оператор в действительной размерности 5 и выше.Здесь в отличие от изменения метрики конформным множителем, как в рассмотренном выше римановом случае, на многообразии CR 3 изменяется форма контакта с помощью конформного множителя. Неотрицательность оператора CR Панейца в размерности 3 является CR-инвариантным условием, как доказано ниже. Это следует из конформно-ковариантных свойств оператора Ч.Р. Панейца, впервые обнаруженного Кенго Хирачи . ^[2] Кроме того, оператор Ч. Р. Панейца играет важную роль в получении точной нижней оценки собственных значений лапласиана Кона. Это результат Сагуна Чанильо , Хунг-Лин Чиу и Пола К. Янга . ^[3] Эта точная нижняя оценка собственных значений является точным аналогом в CR-геометрии знаменитой нижней оценки Андре Лихнеровича для оператора Лапласа–Бельтрами на компактных римановых многообразиях. Он позволяет глобально вкладывать компактные строго псевдовыпуклые абстрактные CR-многообразия в $C^{n}$ . Точнее, условия вложения CR-многообразия в [3] $C^{n}$ формулируются CR инвариантно и непертурбативно. Существует также частичное обращение приведенного выше результата, когда авторы Дж. С. Кейс, С. Чанилло, П. Янг получают условия, которые гарантируют, что при вложении компактные CR-многообразия имеют неотрицательные CR-операторы Панейца. ^[4] Формальное определение оператора Ч. Р. Панейца $P_{4}$ на CR-многообразиях вещественной размерности три имеет вид (индекс $4$ напомнить читателю, что это оператор четвертого порядка)

P_{4}\phi ={\frac {1}{8}}((\Box _{b}{\overline {\Box _{b}}}+{\overline {\Box _{b}}}\Box _{b})\phi +8Im(A^{11}\phi _{1})_{1})

$\Box _{b}$ обозначает лапласиан Кона, который играет фундаментальную роль в геометрии CR, и несколько комплексных переменных. и был представлен Джозефом Дж. Коном . можно обратиться к тангенциальному комплексу Коши-Римана (лапласиан Кона, комплекс Кона-росси) Для определения лапласиана Кона .Дальше, $A^{11}$ обозначает тензор кручения Вебстера-Танаки и $\phi _{1}$ ковариантная производная функции $\phi$ относительно связи Вебстера-Танаки. Описания Вебстера-Танаки, связности, тензора кручения и кривизны можно найти в статьях Джона М. Ли и Сидни М. Вебстера. ^[5]^[6] Есть еще один способ рассмотреть оператор Ч.Р. Панейца в размерности 3. Джон М. Ли построил оператор третьего порядка. $P_{3}$ который обладает тем свойством, что ядро $P_{3}$ состоит именно из CR-плюригармонических функций (вещественных частей CR-голоморфных функций). ^[5] Показанный выше оператор Панейца представляет собой в точности дивергенцию этого оператора третьего порядка. $P_{3}$ . Оператор третьего порядка $P_{3}$ определяется следующим образом:

P_{3}\phi =({{\phi _{\bar {1}}}^{\bar {1}}}_{1}+{\sqrt {-1}}A_{11}\phi ^{1})\theta ^{1}

Здесь $A_{11}$ – тензор кручения Вебстера-Танаки. Производные берутся с использованием связи Вебстера-Танаки и $\theta ^{1}$ является двойственной 1-формой к CR-голоморфному касательному вектору, который определяет CR-структуру на компактном многообразии. Таким образом $P_{3}$ отправляет функции в $(1,0)$ формы. Таким образом, дивергенция такого оператора превратит функции в функции. Оператор третьего порядка, построенный Дж. Ли, характеризует только CR плюригармонические функции на CR-многообразиях вещественной размерности три.

Ковариантная формула преобразования Хирачи для $P_{4}$ на трехмерных CR-многообразиях заключается в следующем. Пусть CR-многообразие $(M,\theta ,J)$ , где $\theta$ это контактная форма и $J$ структура CR на ядре $\theta$ то есть на контактных плоскостях. Давайте преобразим фоновую контактную форму $\theta$ конформным преобразованием в ${\tilde {\theta }}=e^{2f}\theta$ . Обратите внимание, что эта новая контактная форма, полученная путем конформного изменения старой контактной формы или фоновой контактной формы, не изменила ядро $\theta$ . То есть ${\tilde {\theta }}$ и $\theta$ имеют одинаковое ядро, т.е. контактные плоскости остались неизменными. Структура CR $J$ был сохранен без изменений. Оператор Ч.Р. Панейца ${\tilde {P}}_{4}$ для новой контактной формы ${\tilde {\theta }}$ теперь считается связанным с оператором Ч.Р. Панейца для контактной формы $\theta$ по формуле Хирачи:

{\tilde {P}}_{4}=e^{-4f}P_{4}

Далее обратите внимание на формы объема на коллекторе. $M$ удовлетворить

d{\tilde {V}}={\tilde {\theta }}\wedge d{\tilde {\theta }}=e^{4f}\theta \wedge d\theta =e^{4f}dV

Используя формулу преобразования Хирачи, следует, что

\int _{M}{\tilde {P}}_{4}\phi \phi d{\tilde {V}}=\int _{M}P_{4}\phi \phi dV

Таким образом, мы легко заключаем, что:

\int _{M}P_{4}\phi \phi dV

является CR-инвариантом. То есть показанный выше интеграл имеет одно и то же значение для разных форм контакта, описывающих одну и ту же структуру CR. $J$ .

Оператор $P_{4}$ является действительным самосопряженным оператором. На CR-многообразиях типа $S^{3}$ где тензор кручения Вебстера-Танаки равен нулю, из приведенной выше формулы видно, что сохраняются только главные члены, включающие лапласиан Кона. Далее, из формул тензорной коммутации, приведенных в [5], легко проверить, что операторы $\Box _{b},{\overline {\Box _{b}}}$ коммутируют, когда тензор кручения Вебстера-Танаки $A_{11}$ исчезает. Точнее, у одного есть

[\Box _{b},{\overline {\Box _{b}}}]=4{\sqrt {-1}}ImQ

где

Q\phi =2{\sqrt {-1}}(A_{11}\phi _{1})_{1}

Таким образом $\Box _{b},{\overline {\Box _{b}}}$ одновременно диагонализуемы в предположении нулевого кручения. Далее обратите внимание, что $\Box _{b}$ и ${\overline {\Box _{b}}}$ имеют одну и ту же последовательность собственных значений, которые также являются действительными. Таким образом, мы делаем вывод из формулы для $P_{4}$ что CR-структуры, имеющие нулевое кручение, имеют неотрицательные CR-операторы Панейца. В статье [4] среди прочего показано, что реальные эллипсоиды в $C^{2}$ несут структуру CR, унаследованную от сложной структуры $C^{2}$ чей оператор Ч.Р. Панейца неотрицательен. Эта структура CR на эллипсоидах имеет неисчезающее кручение Вебстера-Танаки. Таким образом, в [4] приведены первые примеры CR-многообразий, где оператор CR Панейца неотрицательен и тензор кручения также не обращается в нуль. Поскольку выше мы заметили, что CR Панейтца является дивергенцией оператора, ядром которого являются плюригармонические функции, отсюда также следует, что ядро оператора CR Панейца содержит все CR плюригармонические функции. Таким образом, ядро оператора Ч. Р. Панейца, в отличие от риманова случая, имеет бесконечномерное ядро. Результаты о том, когда ядро представляет собой именно плюригармонические функции, о природе и роли дополнительного пространства в ядре и т. д. можно найти в статье, цитируемой ниже как [4].

Одно из основных применений оператора CR Панейца и результатов из [3] относится к CR-аналогу теоремы о положительной массе, предложенной Цзих-Синь Ченгом, Андреа Мальчиоди и Полом К. Янгом . ^[7] Это позволяет получить результаты по задаче Ч. Р. Ямабе .

Дополнительные факты, связанные с ролью оператора CR Панейца в CR-геометрии, можно получить из статьи CR-многообразие .

См. также

Ссылки

^ Грэм, К. Робин; Ли, Джон М. (1988). «Гладкие решения вырожденных лапласианов в строго псевдовыпуклых областях». Математический журнал Дьюка . 57 (3): 697–720. дои : 10.1215/S0012-7094-88-05731-6 .
^ Хирачи, Кенго (1993). «Скалярные псевдоэрмитовые инварианты и ядро Сегё на трехмерных CR-многообразиях». Сложная геометрия (Осака, 1990) . Конспект лекций по чистой и прикладной математике. Том. 143. Нью-Йорк: Марсель Деккер. стр. 67–76.
^ Шанильо, Сагун; Чиу, Хун-Лин; Ян, Пол С. (2012). «Вложимость трехмерных CR-многообразий и CR-инвариантов Ямабе». Математический журнал Дьюка . 161 (15): 2909–2921. arXiv : 1007.5020 . дои : 10.1215/00127094-1902154 . S2CID 304301 .
^ Кейс, Джеффри С.; Шанильо, Сагун; Ян, Пол С. (2016). «Оператор CR Панейца и устойчивость плюригармонических функций CR» . Достижения в математике . 287 : 109–122. arXiv : 1502.01994 . дои : 10.1016/j.aim.2015.10.002 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Ли, Джон М. (1988). «Псевдоэйнштейновы структуры на CR-многообразиях». Американский журнал математики . 110 (1): 157–178. дои : 10.2307/2374543 . JSTOR 2374543 .
^ Вебстер, Сидни М. (1978). «Псевдоэрмитовые структуры на реальной гиперповерхности» . Журнал дифференциальной геометрии . 13 : 25–41. дои : 10.4310/jdg/1214434345 .
^ Ченг, Цзих-Синь; Мальчиоди, Андреа; Ян, Пол (21 февраля 2017 г.). «Теорема о положительной массе в трехмерной геометрии Коши-Римана» . Достижения в математике . 308 : 276–347. arXiv : 1312.7764 . Бибкод : 2013arXiv1312.7764C . дои : 10.1016/j.aim.2016.12.012 .

Брэнсон, Томас П.; Эрстед, Бент (1991), «Явные функциональные детерминанты в четырех измерениях», Труды Американского математического общества , 113 (3): 669–682, doi : 10.2307/2048601 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2048601 , MR 1050018 .
Чанг, Сунь-Юнг А. (1999), «Дифференциальный оператор четвертого порядка в конформной геометрии», в М. Кристе; К. Кениг; К. Садорский (ред.), Гармонический анализ и уравнения в частных производных; Очерки в честь Альберто П. Кальдерона , Чикагские лекции по математике, стр. 127–150 .
Панейц, Стивен М. (2008), «Квартичный конформно-ковариантный дифференциальный оператор для произвольных псевдоримановых многообразий (резюме)», Симметрия, интегрируемость и геометрия: методы и приложения , 4 : Статья 036, 3, arXiv : 0803.4331 , Bibcode : 2008SIGMA...4..036P , doi : 10.3842/SIGMA.2008.036 , ISSN 1815-0659 , MR 2393291 , S2CID 115155901 .

[1] Грэм, К. Робин; Ли, Джон М. (1988). «Гладкие решения вырожденных лапласианов в строго псевдовыпуклых областях». Математический журнал Дьюка . 57 (3): 697–720. дои : 10.1215/S0012-7094-88-05731-6 .

[2] Хирачи, Кенго (1993). «Скалярные псевдоэрмитовые инварианты и ядро Сегё на трехмерных CR-многообразиях». Сложная геометрия (Осака, 1990) . Конспект лекций по чистой и прикладной математике. Том. 143. Нью-Йорк: Марсель Деккер. стр. 67–76.

[3] Шанильо, Сагун; Чиу, Хун-Лин; Ян, Пол С. (2012). «Вложимость трехмерных CR-многообразий и CR-инвариантов Ямабе». Математический журнал Дьюка . 161 (15): 2909–2921. arXiv : 1007.5020 . дои : 10.1215/00127094-1902154 . S2CID 304301 .

[4] Кейс, Джеффри С.; Шанильо, Сагун; Ян, Пол С. (2016). «Оператор CR Панейца и устойчивость плюригармонических функций CR» . Достижения в математике . 287 : 109–122. arXiv : 1502.01994 . дои : 10.1016/j.aim.2015.10.002 .

[Lee1988-5] Перейти обратно: ^а ^б Ли, Джон М. (1988). «Псевдоэйнштейновы структуры на CR-многообразиях». Американский журнал математики . 110 (1): 157–178. дои : 10.2307/2374543 . JSTOR 2374543 .

[6] Вебстер, Сидни М. (1978). «Псевдоэрмитовые структуры на реальной гиперповерхности» . Журнал дифференциальной геометрии . 13 : 25–41. дои : 10.4310/jdg/1214434345 .

[7] Ченг, Цзих-Синь; Мальчиоди, Андреа; Ян, Пол (21 февраля 2017 г.). «Теорема о положительной массе в трехмерной геометрии Коши-Римана» . Достижения в математике . 308 : 276–347. arXiv : 1312.7764 . Бибкод : 2013arXiv1312.7764C . дои : 10.1016/j.aim.2016.12.012 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]