Плотность на коллекторе

В математике и, в частности, в дифференциальной геометрии , плотность — это пространственно изменяющаяся величина на дифференцируемом многообразии , которую можно интегрировать внутренним образом. Абстрактно, плотность — это часть некоторого линейного расслоения , называемого расслоением плотности . Элемент расслоения плотности в точке x — это функция, которая задает объем параллелоэдра , натянутого на n заданных касательных векторов в точке x .

С оперативной точки зрения плотность — это набор функций на координатных картах , которые умножаются на абсолютное значение определителя Якобиана при изменении координат. Плотности можно обобщить в s- плотности , чьи координатные представления умножаются на s -ю степень абсолютного значения определителя Якобиана. На ориентированном многообразии 1-плотности канонически отождествляются с n - на M. формами На неориентируемых многообразиях такое отождествление провести невозможно, поскольку расслоение плотности является тензорным произведением расслоения ориентации M и n -го внешнего расслоения произведения T. ^∗ М (см. псевдотензор ).

Мотивация (плотности в векторных пространствах)

Вообще говоря, не существует естественного понятия «объема» для параллелоэдра, порожденного векторами v ₁ , ..., v _n в n -мерном векторном пространстве V . Однако если кто-то желает определить функцию µ : V × ... × V → R , которая задает объём любому такому параллелоэдру, она должна удовлетворять следующим свойствам:

• Если какой-либо из векторов v _k умножить на λ ∈ R , то объем следует умножить на | λ |.
• любая линейная комбинация векторов v ₁ , ..., v _{j -1} , v _{j +1} , ..., v _n добавляется Если к вектору v _j , объем должен оставаться неизменным.

Эти условия эквивалентны утверждению, что µ задается трансляционно-инвариантной мерой на V , и их можно перефразировать как

$\mu (Av_{1},\ldots ,Av_{n})=\left|\det A\right|\mu (v_{1},\ldots ,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL} (V).$

Любое такое отображение µ : V × ... × V → R называется плотностью в векторном V. пространстве Обратите внимание, что если ( v ₁ , ..., v _n ) является каким-либо базисом для V , то фиксация µ ( v ₁ , ..., v _n исправит µ ) полностью ; отсюда следует, что множество Vol( V ) всех плотностей на V образует одномерное векторное пространство. Любая n -форма ω на V определяет плотность | ω | на V от

$|\omega |(v_{1},\ldots ,v_{n}):=|\omega (v_{1},\ldots ,v_{n})|.$

Ориентации в векторном пространстве

Множество Or( V ) всех функций o : V × ... × V → R , удовлетворяющих условиям

$o(Av_{1},\ldots ,Av_{n})=\operatorname {sign} (\det A)o(v_{1},\ldots ,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL} (V)$

образует одномерное векторное пространство, а ориентация на V — это один из двух элементов o ∈ Or( V ) таких, что | о ( v ₁ , ..., v _п ) | = 1 для любого линейно независимого v ₁ , ..., v _n . Любая ненулевая n -форма ω на V определяет ориентацию o ∈ Or( V ) такую, что

$o(v_{1},\ldots ,v_{n})|\omega |(v_{1},\ldots ,v_{n})=\omega (v_{1},\ldots ,v_{n}),$

и наоборот, любой o ∈ Or( V ) и любая плотность µ ∈ Vol( V ) определяют n -форму ω на V формулой

$\omega (v_{1},\ldots ,v_{n})=o(v_{1},\ldots ,v_{n})\mu (v_{1},\ldots ,v_{n}).$

С точки зрения тензорных пространств произведений ,

$\operatorname {Or} (V)\otimes \operatorname {Vol} (V)=\bigwedge ^{n}V^{*},\quad \operatorname {Vol} (V)=\operatorname {Or} (V)\otimes \bigwedge ^{n}V^{*}.$

s -плотности в векторном пространстве

s → -плотности на V это функции µ : V × ... × V — R такие, что

$\mu (Av_{1},\ldots ,Av_{n})=\left|\det A\right|^{s}\mu (v_{1},\ldots ,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL} (V).$

Как и плотности, s -плотности образуют одномерное векторное пространство Vol. ^с ( V ), и любая n -форма ω на V определяет s -плотность | ω | ^с on V by

$|\omega |^{s}(v_{1},\ldots ,v_{n}):=|\omega (v_{1},\ldots ,v_{n})|^{s}.$

Произведение s ₁ - и s ₂ -плотностей µ ₁ и µ ₂ образует ( s ₁ + s ₂ )-плотность µ по формуле

$\mu (v_{1},\ldots ,v_{n}):=\mu _{1}(v_{1},\ldots ,v_{n})\mu _{2}(v_{1},\ldots ,v_{n}).$

В терминах тензорных пространств произведений этот факт можно сформулировать как

$\operatorname {Vol} ^{s_{1}}(V)\otimes \operatorname {Vol} ^{s_{2}}(V)=\operatorname {Vol} ^{s_{1}+s_{2}}(V).$

Определение

Формально расслоение s -плотности Vol ^с ( M ) дифференцируемого многообразия M получается с помощью ассоциированной конструкции расслоения , переплетающей одномерное групповое представление

$\rho (A)=\left|\det A\right|^{-s},\quad A\in \operatorname {GL} (n)$

полной линейной группы с расслоением реперов M .

Полученное линейное расслоение известно как расслоение s -плотностей и обозначается

$\left|\Lambda \right|_{M}^{s}=\left|\Lambda \right|^{s}(TM).$

1-плотность также называют просто плотностью.

В более общем смысле, связанная конструкция расслоения также позволяет создавать плотности из любого векторного расслоения E на M .

Подробно, если ( U _α ,φ _α ) — атлас координатных карт на M , то с ним связана локальная тривиализация $\left|\Lambda \right|_{M}^{s}$

$t_{\alpha }:\left|\Lambda \right|_{M}^{s}|_{U_{\alpha }}\to \phi _{\alpha }(U_{\alpha })\times \mathbb {R}$

подчиненное открытому покрытию U _α такое, что ассоциированный GL(1)-коцикл удовлетворяет условию

$t_{\alpha \beta }=\left|\det(d\phi _{\alpha }\circ d\phi _{\beta }^{-1})\right|^{-s}.$

Интеграция

Плотности играют важную роль в теории интегрирования на многообразиях. Действительно, определение плотности мотивировано тем, как изменяется мера dx при изменении координат ( Folland 1999 , раздел 11.4, стр. 361-362).

Учитывая 1-плотность ƒ, поддерживаемую в координатной карте U _α , интеграл определяется формулой

$\int _{U_{\alpha }}f=\int _{\phi _{\alpha }(U_{\alpha })}t_{\alpha }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}d\mu$

где последний интеграл относится к мере Лебега на R ^н . Закон преобразования для 1-плотностей вместе с заменой переменных Якобиана обеспечивает совместимость на перекрытиях различных координатных карт, и поэтому интеграл от общей компактной 1-плотности может быть определен путем разделения аргумента единицы. Таким образом, 1-плотности являются обобщением понятия формы объема, которое не обязательно требует, чтобы многообразие было ориентированным или даже ориентируемым. В более общем плане можно разработать общую теорию радоновых мер как распределительных участков $|\Lambda |_{M}^{1}$ используя теорему о представлении Рисса-Маркова-Какутани .

Набор 1/p -плотностей таких, что $|\phi |_{p}=\left(\int |\phi |^{p}\right)^{1/p}<\infty$ — нормированное линейное пространство, пополнение которого $L^{p}(M)$ называется внутренним L ^п пространство ​ М. ​

Конвенции

В некоторых областях, особенно в конформной геометрии , используется другое соглашение о взвешивании: вместо этого связка s -плотностей связана с символом

$\rho (A)=\left|\det A\right|^{-s/n}.$

Например, согласно этому соглашению интегрируются n -плотностей (а не 1-плотностей). Также в этих соглашениях конформная метрика отождествляется с тензорной плотностью веса 2.

Характеристики

• Двойное векторное расслоение $|\Lambda |_{M}^{s}$ является $|\Lambda |_{M}^{-s}$.
• Тензорные плотности — это сечения тензорного произведения расслоения плотности на тензорное расслоение.

Ссылки

• Берлина, Николь; Гетцлер, Эзра; Вернь, Мишель (2004), Тепловые ядра и операторы Дирака , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-20062-8 .
• Фолланд, Джеральд Б. (1999), Реальный анализ: современные методы и их применение (второе изд.), ISBN  978-0-471-31716-6 , в последнем разделе приводится краткое обсуждение плотностей. {{citation}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
• Николаеску, Ливиу И. (1996), Лекции по геометрии многообразий , Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN  978-981-02-2836-1 , МР   1435504
• Ли, Джон М. (2003), Введение в гладкие многообразия , Springer-Verlag