Поверхность Пеано

Модель поверхности Пеано в дрезденской коллекции.

В математике поверхность Пеано представляет собой график функции двух переменных.

$f(x,y)=(2x^{2}-y)(y-x^{2}).$

Он был предложен Джузеппе Пеано в 1899 году как контрпример к предполагаемому критерию существования максимумов и минимумов функций двух переменных.

Поверхность была названа поверхностью Пеано ( нем . Peanosche Surface ) Георгом Шефферсом в его книге 1920 года «Учебник представительной геометрии» . Его также называли седлом Пеано .

Характеристики

Поверхность Пеано и ее кривые уровня для уровня 0 (параболы, зеленый и фиолетовый)

Функция $f(x,y)=(2x^{2}-y)(y-x^{2})$ чьим графиком является поверхность, принимает положительные значения между двумя параболами $y=x^{2}$ и $y=2x^{2}$и отрицательные значения в других местах (см. диаграмму). В начале координат трехмерная точка $(0,0,0)$ на поверхности, соответствующей точке пересечения двух парабол, поверхность имеет седловую точку . Сама поверхность имеет положительную гауссову кривизну в одних частях и отрицательную кривизну в других, разделенных другой параболой, подразумевая, что его карта Гаусса имеет точку возврата Уитни .

Пересечение поверхности Пеано вертикальной плоскостью. Кривая пересечения имеет локальный максимум в начале координат справа от изображения и глобальный максимум слева от изображения, неглубоко погружающийся между этими двумя точками.

Хотя поверхность не имеет локального максимума в начале координат, ее пересечение с любой вертикальной плоскостью, проходящей через начало координат (плоскость с уравнением $y=mx$ или $x=0$) — кривая, имеющая локальный максимум в начале координат, свойство, описанное Эрлом Рэймондом Хедриком как «парадоксальное». Другими словами, если точка начинается в начале координат $(0,0)$ плоскости и удаляется от начала координат по любой прямой, значение $(2x^{2}-y)(y-x^{2})$ уменьшится в начале движения. Тем не менее, $(0,0)$ не является локальным максимумом функции, поскольку движение по параболе типа $y={\sqrt {2}}\,x^{2}$ (на диаграмме: красный) приведет к увеличению значения функции.

Поверхность Пеано является поверхностью четвертой степени .

В качестве контрпримера

В 1886 году Джозеф Альфред Серрет опубликовал учебник. с предложенными критериями крайние точки поверхности, заданные формулой $z=f(x_{0}+h,y_{0}+k)$

«максимум или минимум имеет место тогда, когда для значений $h$ и $k$ для чего $d^{2}f$ и $d^{3}f$ (третий и четвертый члены) исчезают, $d^{4}f$ (пятый член) постоянно имеет знак − или знак +».

Здесь предполагается, что линейные члены равны нулю и ряд Тейлора $f$ имеет форму $z=f(x_{0},y_{0})+Q(h,k)+C(h,k)+F(h,k)+\cdots$где $Q(h,k)$ представляет собой квадратичную форму типа $ah^{2}+bhk+ck^{2}$, $C(h,k)$ представляет собой кубическую форму с кубическими членами в $h$ и $k$,и $F(h,k)$ является формой четвертой степени с однородным полиномом четвертой степени от $h$ и $k$.Серрет предполагает, что если $F(h,k)$ имеет постоянный знак во всех точках, где $Q(h,k)=C(h,k)=0$ тогда существует локальный максимум или минимум поверхности в точке $(x_{0},y_{0})$.

В своих примечаниях к Анджело Дженокки итальянскому учебнику по исчислению » 1884 года «Calcolo Differentziale e principii di Calcolo Integrale Пеано уже предоставил различные правильные условия, при которых функция достигает локального минимума или локального максимума. В немецком переводе того же учебника 1899 года он представил эту поверхность в качестве контрпримера состоянию Серре. В точку $(0,0,0)$, условия Серре выполнены, но эта точка является седловой, а не локальным максимумом. Состояние, связанное с состоянием Серре, также подверглось критике со стороны Людвига Шеффера , который использовал поверхность Пеано в качестве контрпримера к ней в публикации 1890 года, приписываемой Пеано.

Модели

Модели поверхности Пеано включены в Геттингенскую коллекцию математических моделей и инструментов Геттингенского университета . и в коллекции математических моделей Дрезденского технического университета (в двух разных моделях). Модель Göttingen была первой новой моделью, добавленной в коллекцию после Первой мировой войны , и одной из последних, добавленных в коллекцию в целом.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Поверхность Пеано» . Математический мир .