Неравенство Адамара

Не путать с неравенством Эрмита-Адамара .

В математике ( неравенство Адамара также известное как теорема Адамара об определителях) ) — результат, впервые опубликованный Жаком Адамаром в 1893 году. Это граница определителя выраженные матрицы , элементы которой представляют собой комплексные числа, в терминах длин ее векторов-столбцов. С геометрической ограничен действительными числами , он ограничивает объем в евклидовом пространстве n точки зрения, когда он измерений, отмеченный n векторами v _i для 1 ≤ i ≤ n, в терминах длин этих векторов || в _я ||.

В частности, неравенство Адамара гласит, что если N — матрица, имеющая столбцы ви _тогда ,

$\left|\det(N)\right|\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|.$

Если n векторов отличны от нуля, равенство в неравенстве Адамара достигается тогда и только тогда, когда векторы ортогональны .

Альтернативные формы и следствия

Следствием является то , что если элементы B ограничены размером n на n матрицы N , то | Н _ij | ≤ B для всех i и j , тогда

$\left|\det(N)\right|\leq B^{n}n^{n/2}.$

В частности, если элементы N равны только +1 и -1, то

$\left|\det(N)\right|\leq n^{n/2}.$

В комбинаторике матрицы N, для которых имеет место равенство, т. е. матрицы с ортогональными столбцами, называются матрицами Адамара .

В более общем смысле предположим, что N — комплексная матрица порядка n , элементы которой ограничены | Н _ij | ≤ 1, для каждого i , j между 1 и n . Тогда неравенство Адамара утверждает, что

$|\operatorname {det} (N)|\leq n^{n/2}.$

Равенство в этой оценке достигается для вещественной матрицы N тогда и только тогда, когда N — матрица Адамара.

Положительно -полуопределенную матрицу P можно записать как N ^* Н , где Н ^* обозначает сопряженное транспонирование N Разложение (см. полуопределенной матрицы ). Затем

$\det(P)=\det(N)^{2}\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|^{2}=\prod _{i=1}^{n}p_{ii}.$

Итак, определитель положительно определенной матрицы меньше или равен произведению ее диагональных элементов. Иногда это также называют неравенством Адамара.

Доказательство

Результат тривиален, если матрица , поэтому N сингулярна предположим, что столбцы N независимы линейно . Разделив каждый столбец на его длину, можно увидеть, что результат эквивалентен частному случаю, когда каждый столбец имеет длину 1, другими словами, если ei _- , единичные векторы а M - матрица, имеющая в _ei качестве столбцов, то

$\left|\det M\right|\leq 1,$ ( 1 )

и равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы представляют собой ортогональный набор . Общий результат теперь следующий:

$\left|\det N\right|={\bigg (}\prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|{\bigg )}\left|\det M\right|\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|.$

Для доказательства (1) рассмотрим P = M ^* М где М ^* является сопряженным транспонированием M , и пусть значения собственные P равны λ ₁ , λ ₂ , … λ _n . Поскольку длина каждого столбца M запись на диагонали P равна 1, поэтому след P равна 1, каждая равен n . Применяя неравенство средних арифметических и геометрических ,

$\det P=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}\leq {\bigg (}{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}{\bigg )}^{n}=\left({1 \over n}\operatorname {tr} P\right)^{n}=1^{n}=1,$

так

$\left|\det M\right|={\sqrt {\det P}}\leq 1.$

Если существует равенство, то все λ _i должны быть равны, а их сумма равна n , поэтому все они должны быть равны 1. Матрица P является эрмитовой , следовательно, диагонализируемой , поэтому это единичная матрица - другими словами, столбцы из M являются ортонормированным набором, а столбцы N являются ортогональным набором. В литературе можно найти множество других доказательств.

См. также

• Неравенство Фишера

Ссылки

• Maz'ya, Vladimir; Shaposhnikova, T. O. (1999). Jacques Hadamard: A Universal Mathematician . AMS. pp. 383ff. ISBN  0-8218-1923-2 .
• Гарлинг, DJH (2007). Неравенства: путешествие в линейный анализ . Кембридж. п. 233 . ISBN  978-0-521-69973-0 .
• Рисс, Фредерик; Секефальви-Надь, Бела (1990). Функциональный анализ . Дувр. п. 176. ИСБН  0-486-66289-6 .
• Вайсштейн, Эрик В. «Неравенство Адамара» . Математический мир .

Дальнейшее чтение

• Бекенбах, Эдвин Ф; Беллман, Ричард Эрнест (1965). Неравенства . Спрингер. п. 64.