Неравенство Фишера

Эта статья о определителях матриц. Для теории статистического проектирования блоков см. Неравенство Фишера .

В математике элементы которой представляют собой комплексные числа , неравенство Фишера дает верхнюю оценку определителя положительно , -полуопределенной матрицы выраженные в терминах определителей ее главных диагональных блоков. Предположим, что A , C являются соответственно p × p , q × q положительно-полуопределенными комплексными матрицами, а B — комплексная матрица p × q . Позволять

$M:=\left[{\begin{matrix}A&B\\B^{*}&C\end{matrix}}\right]$

так что M — матрица ( p + q )×( p + q ).

Тогда неравенство Фишера утверждает, что

$\det(M)\leq \det(A)\det(C).$

Если M положительно определенное, равенство достигается в неравенстве Фишера тогда и только тогда, когда все элементы B равны 0. Индуктивно можно заключить, что аналогичное неравенство справедливо для блочного разложения M с несколькими главными диагональными блоками. Учитывая блоки 1×1, следствием является неравенство Адамара . С другой стороны, неравенство Фишера также можно доказать, используя неравенство Адамара, см. доказательство теоремы 7.8.5 в «Матричном анализе Хорна и Джонсона».

Доказательство

Предположим, что A и C положительно определены. У нас есть $A^{-1}$ и $C^{-1}$ являются положительно определенными. Позволять

$D:=\left[{\begin{matrix}A&0\\0&C\end{matrix}}\right].$

Мы отмечаем, что

$D^{-{\frac {1}{2}}}MD^{-{\frac {1}{2}}}=\left[{\begin{matrix}A^{-{\frac {1}{2}}}&0\\0&C^{-{\frac {1}{2}}}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A&B\\B^{*}&C\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A^{-{\frac {1}{2}}}&0\\0&C^{-{\frac {1}{2}}}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}I_{p}&A^{-{\frac {1}{2}}}BC^{-{\frac {1}{2}}}\\C^{-{\frac {1}{2}}}B^{*}A^{-{\frac {1}{2}}}&I_{q}\end{matrix}}\right]$

Применяя неравенство AM-GM к собственным значениям $D^{-{\frac {1}{2}}}MD^{-{\frac {1}{2}}}$, мы видим

$\det(D^{-{\frac {1}{2}}}MD^{-{\frac {1}{2}}})\leq \left({1 \over p+q}\mathrm {tr} (D^{-{\frac {1}{2}}}MD^{-{\frac {1}{2}}})\right)^{p+q}=1^{p+q}=1.$

Ввиду мультипликативности определителя имеем

${\begin{aligned}\det(D^{-{\frac {1}{2}}})\det(M)\det(D^{-{\frac {1}{2}}})\leq 1\\\Longrightarrow \det(M)\leq \det(D)=\det(A)\det(C).\end{aligned}}$

В этом случае равенство выполняется тогда и только тогда, когда M = D , то есть все элементы B равны 0.

Для $\varepsilon >0$, как $A+\varepsilon I_{p}$ и $C+\varepsilon I_{q}$ положительно определены, мы имеем

$\det(M+\varepsilon I_{p+q})\leq \det(A+\varepsilon I_{p})\det(C+\varepsilon I_{q}).$

Принимая предел как $\varepsilon \rightarrow 0$ доказывает неравенство. Из неравенства заметим, что если M обратимо, то и A , и C обратимы, и мы получаем искомое условие равенства.

Улучшения

Если M можно разбить на квадратные блоки M _ij , то справедливо следующее неравенство Томпсона:

$\det(M)\leq \det([\det(M_{ij})])$

где [det( M _ij )] — матрица, элементом ( i , j ) которой является det( M _ij ).

В частности, если блочные матрицы B и C также являются квадратными матрицами, то справедливо следующее неравенство Эверетта:

$\det(M)\leq \det {\begin{bmatrix}\det(A)&&\det(B)\\\det(B^{*})&&\det(C)\end{bmatrix}}$

Неравенство Томпсона также можно обобщить неравенством в терминах коэффициентов характеристического полинома блочных матриц. Выразив характеристический полином матрицы A как

$p_{A}(t)=\sum _{k=0}^{n}t^{n-k}(-1)^{k}\operatorname {tr} (\Lambda ^{k}A)$

и предполагая, что блоки M _ij представляют собой матрицы размером m x m , справедливо следующее неравенство Линя и Чжана:

$\det(M)\leq \left({\frac {\det([\operatorname {tr} (\Lambda ^{r}M_{ij}]))}{\binom {m}{r}}}\right)^{\frac {m}{r}},\quad r=1,\ldots ,m$

Обратите внимание, что если r = m , то это неравенство идентично неравенству Томпсона.

См. также

• Неравенство Адамара

Ссылки

• Фишер, Эрнст (1907), «О теореме определения Адамара», Arch. (3) , 13 :32–40 .
• Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (2012), Матричный анализ , номер документа : 10.1017/cbo9781139020411 , ISBN  9781139020411 .