Липшицев домен

В математике ( липшицева область или область с липшицевой границей ) — это область в евклидовом пространстве которой , граница «достаточно регулярна» в том смысле, что ее можно рассматривать как локально являющуюся графиком липшицевой непрерывной функции . Термин назван в честь немецкого математика Рудольфа Липшица .

Определение

Позволять $n\in \mathbb {N}$. Позволять $\Omega$ быть доменом ​ $\mathbb {R} ^{n}$ и пусть $\partial \Omega$ обозначим границу ​ $\Omega$. Затем $\Omega$ называется липшицевой областью, если для каждой точки $p\in \partial \Omega$ существует гиперплоскость $H$ размера $n-1$ через $p$, липшицево-непрерывная функция $g:H\rightarrow \mathbb {R}$ над этой гиперплоскостью и реальными $r>0$ и $h>0$ такой, что

• $\Omega \cap C=\left\{x+y{\vec {n}}\mid x\in B_{r}(p)\cap H,\ -h<y<g(x)\right\}$
• $(\partial \Omega )\cap C=\left\{x+y{\vec {n}}\mid x\in B_{r}(p)\cap H,\ g(x)=y\right\}$

где

${\vec {n}}$ — единичный вектор , нормальный к $H,$

$B_{r}(p):=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \|x-p\|<r\}$ это открытый шар радиуса $r$,

$C:=\left\{x+y{\vec {n}}\mid x\in B_{r}(p)\cap H,\ {-h}<y<h\right\}.$

Другими словами, в каждой точке его границы $\Omega$ — локально множество точек, расположенных над графиком некоторой липшицевой функции.

Обобщение

Более общим понятием является понятие слабо липшицевых областей, то есть областей, граница которых локально сглаживается билипшицевым отображением. Липшицевы области в указанном выше смысле иногда называют сильно липшицевыми областями в отличие от слабо липшицевых областей.

Домен $\Omega$ является слабо липшицевым, если для каждой точки $p\in \partial \Omega ,$ существует радиус $r>0$ и карта $\ell _{p}:B_{r}(p)\rightarrow Q$ такой, что

• $\ell _{p}$ является биекцией ;
• $\ell _{p}$ и $l_{p}^{-1}$ обе являются липшицевыми непрерывными функциями;
• $\ell _{p}\left(\partial \Omega \cap B_{r}(p)\right)=Q_{0};$
• $\ell _{p}\left(\Omega \cap B_{r}(p)\right)=Q_{+};$

где $Q$ обозначает единичный шар $B_{1}(0)$ в $\mathbb {R} ^{n}$ и

$Q_{0}:=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in Q\mid x_{n}=0\};$

$Q_{+}:=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in Q\mid x_{n}>0\}.$

(Сильно) липшицева область всегда является слабо липшицевой областью, но обратное неверно. Примером слабо липшицевой области, которая не может быть сильно липшицевой областью, является из двух кирпичей. область

Приложения липшицевых доменов

Многие из теорем вложения Соболева требуют, чтобы область исследования была липшицевой областью. Следовательно, многие уравнения в частных производных и вариационные задачи определены в липшицевых областях.

Ссылки

• Дакоронья, Б. (2004). Введение в вариационное исчисление . Издательство Имперского колледжа, Лондон. ISBN  1-86094-508-2 .