Модель случайной энергии

В статистической физике неупорядоченных систем модель случайной энергии представляет собой игрушечную модель системы с закаленным беспорядком , такой как спиновое стекло первого рода , имеющей фазовый переход . Речь идет о статистике набора $N$ спины ( т.е. степени свободы ${\boldsymbol {\sigma }}\equiv \{\sigma _{i}\}_{i=1}^{N}$ который может принимать одно из двух возможных значений $\sigma _{i}=\pm 1$), так что число возможных состояний системы равно $2^{N}$. Энергии таких состояний являются независимыми и одинаково распределенными гауссовскими случайными величинами. $E_{x}\sim {\mathcal {N}}(0,N/2)$ с нулевым средним значением и дисперсией $N/2$. Многие свойства этой модели можно точно вычислить. Ее простота делает эту модель подходящей для педагогического введения таких понятий, как подавленный беспорядок и симметрия реплик .

Термодинамические величины

Критическая энергия на частицу: $h_{c}={\sqrt {\ln 2}}$.

Критическая обратная температура $\beta _{c}=2{\sqrt {\ln 2}}$.

Функция разделения $Z(\beta )=\sum _{s}e^{-\beta H(s)}$, что в целом $N$ становится $2^{N}\mathbb {E} _{E}[e^{-\beta E}]$ когда $\beta <\beta _{c}$, то есть конденсации не происходит. Когда это верно, мы говорим, что он обладает свойством самоусреднения .

Свободная энтропия на частицу $$f(\beta )=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\ln Z={\begin{cases}\ln 2+{\frac {1}{4}}\beta ^{2}\quad &\beta <\beta _{c},\\\beta {\sqrt {\ln 2}}\quad &\beta >\beta _{c}\end{cases}}$$

Энтропия на частицу $$s(h)=\max _{\beta }(f(\beta )-\beta h)={\begin{cases}\ln 2-h^{2}\quad &h\in [-h_{c},+h_{c}],\\0\quad &{\text{else }}\end{cases}}$$

Конденсат

Когда $\beta <\beta _{c}$распределение Больцмана системы сосредоточено при энергии на частицу $h=-\beta /2$, из которых есть $\sim e^{N(\ln 2-\beta ^{2}/4)}$ государства.

Когда $\beta >\beta _{c}$распределение Больцмана системы сосредоточено при $h=-h_{c}$, и поскольку энтропия на частицу в этой точке равна нулю, распределение Больцмана сосредоточено на субэкспоненциальном числе состояний. Это фазовый переход, называемый конденсацией .

Участие

Определим коэффициент участия как $$Y=\sum _{E}p_{E}^{2}={\frac {\sum _{E}e^{-2\beta E}}{(\sum _{E}e^{-\beta E})^{2}}}$$Коэффициент участия измеряет количество конденсации в распределении Больцмана. Его можно интерпретировать как вероятность того, что два случайно выбранных состояния являются одним и тем же состоянием. Действительно, это именно индекс Симпсона , широко используемый индекс разнообразия .

Для каждого $N,\beta$, коэффициент участия является случайной величиной, определяемой уровнями энергии.

Когда $\beta <\beta _{c}$, система не находится в конденсированной фазе, и поэтому в силу асимптотического равнораспределения распределение Больцмана асимптотически равномерно распределено по $\sim e^{N(\ln 2-\beta ^{2}/4)}$ государства. Тогда коэффициент участия будет $$\sim e^{N(\ln 2-\beta ^{2}/4)}\times (e^{-N(\ln 2-\beta ^{2}/4)})^{2}=e^{-N(\ln 2-\beta ^{2}/4)}$$который экспоненциально убывает до нуля.

Когда $\beta >\beta _{c}$, коэффициент участия удовлетворяет $$\lim _{N\to \infty }\mathbb {E} [Y]=1-{\frac {\beta _{c}}{\beta }}$$где математическое ожидание берется по всем случайным уровням энергии.

Сравнение с другими неупорядоченными системами

The $r$-спиновая модель с бесконечным диапазоном , в которой все $r$Наборы -спинов взаимодействуют со случайной, независимой, одинаково распределенной константой взаимодействия и становятся моделью случайной энергии в подходящим образом определенном $r\to \infty$ предел.

Точнее, если гамильтониан модели определяется выражением

$H({\boldsymbol {\sigma }})=\sum _{\{i_{1},\ldots ,i_{r}\}}J_{i_{1},\ldots i_{r}}\sigma _{i_{1}}\cdots \sigma _{i_{r}},$

где сумма пробегает все ${N \choose r}$ отдельные наборы $r$ индексы, и для каждого такого набора $\{i_{1},\ldots ,i_{r}\}$, $J_{i_{1},\ldots ,i_{r}}$ является независимой гауссовой переменной со средним значением 0 и дисперсией $J^{2}r!/(2N^{r-1})$, модель случайной энергии восстанавливается в $r\to \infty$ предел.

Вывод термодинамических величин

Как следует из названия, в РЗМ каждое микроскопическое состояние имеет независимое распределение энергии. Для конкретной реализации расстройства $P(E)=\delta (E-H(\sigma ))$ где $\sigma =(\sigma _{i})$ относится к отдельным спиновым конфигурациям, описываемым состоянием и $H(\sigma )$ это энергия, связанная с ним. Окончательные обширные переменные, такие как свободная энергия, необходимо усреднить по всем реализациям беспорядка, как и в случае модели Эдвардса-Андерсона . Усреднение $P(E)$ по всем возможным реализациям находим, что вероятность того, что данная конфигурация неупорядоченной системы имеет энергию, равную $E$ дается

$[P(E)]={\sqrt {\frac {1}{N\pi J^{2}}}}\exp \left(-{\dfrac {E^{2}}{J^{2}N}}\right),$

где $[\cdots ]$ обозначает среднее значение по всем реализациям беспорядка. Более того, совместное вероятностное распределение значений энергии двух разных микроскопических конфигураций спинов $\sigma$ и $\sigma '$ факторизует:

$[P(E,E')]=[P(E)]\,[P(E')].$

Можно видеть, что вероятность данной спиновой конфигурации зависит только от энергии этого состояния, а не от индивидуальной спиновой конфигурации.

Энтропия РЗМ определяется выражением

$S(E)=N\left[\log 2-\left({\frac {E}{NJ}}\right)^{2}\right]$

для $|E|<NJ{\sqrt {\log 2}}$. Однако это выражение справедливо только в том случае, если энтропия на спин равна $\lim _{N\to \infty }S(E)/N$ конечно, т. е. когда $|E|<-NJ{\sqrt {\log 2}}.$ С $(1/T)=\partial S/\partial E$, это соответствует $T>T_{c}=1/(2{\sqrt {\log 2}})$. Для $T<T_{c}$, система остается «замороженной» в небольшом количестве конфигураций энергии $E\simeq -NJ{\sqrt {\log 2}}$ и энтропия на спин исчезает в термодинамическом пределе.

См. также

• Случайная модель субкуба