Трюк с репликой

В статистической физике спиновых стекол и других систем с закаленным беспорядком трюк с репликами представляет собой математический прием, основанный на применении формулы: $$\ln Z=\lim _{n\to 0}{Z^{n}-1 \over n}$$или: $$\ln Z=\lim _{n\to 0}{\frac {\partial Z^{n}}{\partial n}}$$где $Z$ чаще всего это статистическая сумма или аналогичная термодинамическая функция.

Обычно его используют для упрощения расчета ${\overline {\ln Z}}$, ожидаемое значение $\ln Z$, сводя задачу к вычислению среднего беспорядка ${\overline {Z^{n}}}$ где $n$ предполагается целым числом. Это физически эквивалентно усреднению по $n$ копии или реплики системы, отсюда и название.

Суть трюка с репликами заключается в том, что, хотя усреднение беспорядка выполняется в предположении $n$ чтобы быть целым числом, чтобы восстановить усредненный по беспорядку логарифм, нужно отправить $n$ постоянно до нуля. Это очевидное противоречие, лежащее в основе трюка с репликами, никогда не было формально разрешено, однако во всех случаях, когда метод реплик можно сравнить с другими точными решениями, эти методы приводят к одним и тем же результатам. (Естественным и достаточно строгим доказательством того, что трюк с репликами работает, была бы проверка выполнения условий теоремы Карлсона , особенно того, что соотношение $(Z^{n}-1)/n$ имеет экспоненциальный тип меньше π .)

необходимо требовать дополнительное свойство реплик нарушения симметрии Иногда для получения физических результатов (RSB), что связано с нарушением эргодичности .

Общая формулировка

Обычно он используется для вычислений с использованием аналитических функций (может быть разложен в степенной ряд).

Расширять $f(z)$ используя свой степенной ряд : в степени $z$ или другими словами реплики $z$и выполнить те же вычисления, что и для $f(z)$, используя полномочия $z$.

Частный случай, который имеет большое значение в физике, — это усреднение термодинамической свободной энергии .

$F=-k_{\rm {B}}T\ln Z[J_{ij}],$

над значениями $J_{ij}$ с определенным распределением вероятностей, обычно гауссовым.

Тогда статистическая сумма определяется выражением

$Z[J_{ij}]\sim e^{-\beta J_{ij}}.$

Обратите внимание, что если бы мы вычисляли только $Z[J_{ij}]$ (или, в более общем смысле, любая степень $J_{ij}$), а не его логарифм, который мы хотели усреднить, результирующий интеграл (при условии распределения Гаусса) просто

$\int dJ_{ij}\,e^{-\beta J-\alpha J^{2}},$

стандартный интеграл Гаусса , который можно легко вычислить (например, дополняя квадрат).

Чтобы вычислить свободную энергию, мы используем трюк с репликой: $$\ln Z=\lim _{n\to 0}{\dfrac {Z^{n}-1}{n}}$$что сводит сложную задачу усреднения логарифма к решению относительно простого интеграла Гаусса, при условии $n$ является целым числом. Трюк с репликами постулирует, что если $Z^{n}$ можно вычислить для всех положительных целых чисел $n$ тогда этого может быть достаточно, чтобы разрешить ограничивающее поведение, как $n\to 0$ быть рассчитано.

Ясно, что такой аргумент ставит множество математических вопросов, и полученный в результате формализм выполнения предела $n\to 0$ обычно вносит много тонкостей.

При использовании теории среднего поля для выполнения вычислений достижение этого предела часто требует введения дополнительных параметров порядка, свойства, известного как « нарушение симметрии реплики », которое тесно связано с нарушением эргодичности и медленной динамикой в ​​системах беспорядка.

Физические приложения

Трюк с репликами используется при определении основных состояний статистических механических систем в приближении среднего поля . Обычно для систем, в которых определение основного состояния легко, можно анализировать флуктуации вблизи основного состояния. В противном случае используется метод реплики. Примером может служить случай закаленного беспорядка в системе типа спинового стекла с разными типами магнитных связей между спинами, что приводит к появлению множества различных конфигураций спинов, имеющих одинаковую энергию.

В статистической физике систем с закаленным беспорядком любые два состояния с одинаковой реализацией беспорядка (или, в случае спиновых стекол, с одинаковым распределением ферромагнитных и антиферромагнитных связей) называются копиями друг друга. Для систем с подавленным беспорядком обычно ожидают, что макроскопические величины будут самоусредняющимися , при этом любая макроскопическая величина для конкретной реализации беспорядка будет неотличима от той же величины, рассчитанной путем усреднения по всем возможным реализациям беспорядка. Введение реплик позволяет получить это среднее значение для различных реализаций беспорядка.

В случае спинового стекла мы ожидаем, что свободная энергия на спин (или любая самоусредняющаяся величина) в термодинамическом пределе не будет зависеть от конкретных значений ферромагнитных и антиферромагнитных связей между отдельными узлами поперек решетки. Итак, мы явно находим свободную энергию как функцию параметра беспорядка (в данном случае параметров распределения ферромагнитных и антиферромагнитных связей) и усредняем свободную энергию по всем реализациям беспорядка (всем значениям связи между узлами, каждый со своей соответствующей вероятностью, определяемой функцией распределения). Поскольку свободная энергия принимает форму:

$F={\overline {F[J_{ij}]}}=-k_{B}T\,{\overline {\ln Z[J]}}$

где $J_{ij}$ описывает беспорядок (для спиновых стекол описывает характер магнитного взаимодействия между каждым из отдельных узлов $i$ и $j$) и мы берем среднее значение по всем значениям связей, описанных в $J$, взвешенный с заданным распределением. Чтобы выполнить усреднение по функции логарифма, пригодится трюк с репликой, заключающийся в замене логарифма его предельной формой, упомянутой выше. В этом случае количество $Z^{n}$ представляет собой совместную статистическую сумму $n$ идентичные системы.

REM: самая простая задача репликации

Модель случайной энергии (REM) — одна из простейших моделей статистической механики неупорядоченных систем и, вероятно, самая простая модель, показывающая смысл и силу трюка с репликами до уровня 1 нарушения симметрии реплик . Модель особенно подходит для этого введения, поскольку известен точный результат, полученный при использовании другой процедуры, а эффективность трюка с репликой можно доказать путем перекрестной проверки результатов.

Альтернативные методы

Метод полости - это альтернативный метод, часто более простой, чем метод реплик, для изучения задач неупорядоченного среднего поля. Он был разработан для работы с моделями на локально древовидных графах .

Другой альтернативный метод — суперсимметричный метод . Использование метода суперсимметрии обеспечивает математическую строгую альтернативу трюку с репликами, но только в невзаимодействующих системах. См., например, книгу:

Также было продемонстрировано что формализм Келдыша обеспечивает жизнеспособную альтернативу подходу реплик.

Примечания

Первое из приведенных выше тождеств легко понять с помощью расширения Тейлора :

${\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {Z^{n}-1}{n}}&=\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {e^{n\ln Z}-1}{n}}\\&=\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {n\ln Z+{1 \over 2!}(n\ln Z)^{2}+\cdots }{n}}\\&=\ln Z~~.\end{aligned}}$

Для второго тождества просто используется определение производной

${\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {\partial Z^{n}}{\partial n}}&=\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {\partial e^{n\ln Z}}{\partial n}}\\[5pt]&=\lim _{n\rightarrow 0}Z^{n}\ln Z\\[5pt]&=\lim _{n\rightarrow 0}(1+n\ln Z+\cdots )\ln Z\\[5pt]&=\ln Z~~.\end{aligned}}$

Ссылки

• С. Эдвардс (1971), «Статистическая механика резины». В книге «Полимерные сети: структурные и механические свойства » (ред. А. Дж. Чомпфф и С. Ньюман). Нью-Йорк: Plenum Press, ISBN 978-1-4757-6210-5.
• Мезар, Марк; Паризи, Джорджио; Вирасоро, Мигель Анхель (1987). Теория спинового стекла и не только: введение в метод реплик и его приложения . Мировые научные конспекты лекций по физике. Тинек, Нью-Джерси, США: Мировая наука. ISBN  978-9971-5-0116-7 .
• Шарбонно, Патрик (3 ноября 2022 г.). «От трюка с репликой к технике нарушения симметрии реплик». arXiv : 2211.01802 [ physical.hist-ph ].