Конформное измерение

В математике конформная размерность метрического пространства X это нижняя грань хаусдорфовой размерности над конформной калибровкой , X то есть класс всех метрических пространств квазисимметричных X. , —

Формальное определение

Пусть X — метрическое пространство и ${\mathcal {G}}$ — совокупность всех метрических пространств, квазисимметричных X . Конформная размерность X определяется как таковая

$\mathrm {Cdim} X=\inf _{Y\in {\mathcal {G}}}\dim _{H}Y$

Характеристики

Имеем следующие неравенства для метрического пространства X :

$\dim _{T}X\leq \mathrm {Cdim} X\leq \dim _{H}X$

Второе неравенство верно по определению. Первый выводится из того факта, что топологическая размерность T инвариантна относительно гомеоморфизма и, следовательно, может быть определена как грань хаусдорфовой размерности над всеми пространствами, гомеоморфными X. нижняя

Примеры

• Конформное измерение $\mathbf {R} ^{N}$ является N , поскольку топологическая и хаусдорфова размерности евклидовых пространств совпадают.
• Канторово множество K имеет нулевую конформную размерность. Однако не существует метрического пространства, квазисимметричного K с нулевой хаусдорфовой размерностью.

См. также

• Аномальное масштабирование