Гауссово свободное поле

В теории вероятностей и статистической механике ( свободное поле Гаусса GFF ) — это гауссово случайное поле , центральная модель случайных поверхностей (случайных функций высоты).

Дискретная версия может быть определена на любом графе , обычно на решетке в d -мерном евклидовом пространстве. Континуальная версия определена на R ^д или на ограниченной подобласти R ^д. Его можно рассматривать как естественное обобщение одномерного броуновского движения на d временные (но все же одно пространство) измерения: это случайная (обобщенная) функция из R ^д к Р. В частности, одномерный континуум GFF — это просто стандартное одномерное броуновское движение или броуновский мост на интервале.

В теории случайных поверхностей его еще называют гармоническим кристаллом . Это также отправная точка для многих конструкций в квантовой теории поля , где оно называется евклидовым бозонным безмассовым свободным полем . Ключевым свойством двумерного GFF является конформная инвариантность , которая во многом связывает его с эволюцией Шрамма-Лёвнера , см. Sheffield (2005) и Dubédat (2009) .

Подобно броуновскому движению, которое является пределом масштабирования широкого спектра дискретных моделей случайного блуждания (см. теорему Донскера ), GFF континуума является пределом масштабирования не только дискретного GFF на решетках, но и многих моделей функции случайной высоты, таких как как функцию высоты однородных случайных плоских мозаик домино , см. Kenyon (2001) . Плоский GFF также является пределом колебаний характеристического полинома случайной матричной модели, ансамбля Джинибре, см. Rider & Virág (2007) .

Структура дискретного GFF на любом графе тесно связана с поведением простого случайного блуждания по графу . Например, дискретная GFF играет ключевую роль в доказательстве Динга, Ли и Переса (2012) нескольких гипотез о времени покрытия графов (ожидаемом количестве шагов, необходимых для случайного блуждания, чтобы посетить все вершины).

Определение дискретного GFF

Пусть P ( x , y ) — переходное ядро цепи Маркова , заданное случайным блужданием по конечному графу G ( V , E ). Пусть U — фиксированное непустое подмножество вершин V и возьмем множество всех вещественных функций $\varphi$ с некоторыми заданными значениями U . Затем мы определяем гамильтониан как

H(\varphi )={\frac {1}{2}}\sum _{(x,y)}P(x,y){\big (}\varphi (x)-\varphi (y){\big )}^{2}.

Тогда случайная функция с плотностью вероятности, пропорциональной $\exp(-H(\varphi ))$ относительно меры Лебега на $\mathbb {R} ^{V\setminus U}$ называется дискретной GFF с границей U .

Нетрудно показать, что ожидаемое значение $\mathbb {E} [\varphi (x)]$ — дискретное гармоническое расширение граничных значений из U (гармоническое относительно ядра перехода P ), а ковариации $\mathrm {Cov} [\varphi (x),\varphi (y)]$ равны дискретной функции Грина G ( x , y ).

Итак, в одном предложении дискретный GFF — это гауссово случайное поле на V с ковариационной структурой, заданной функцией Грина, связанной с ядром перехода P .

Поле континуума

Определение поля континуума обязательно использует некоторый абстрактный механизм, поскольку оно не существует как случайная функция высоты. Вместо этого это случайная обобщенная функция или, другими словами, распределение вероятностей по распределениям (с двумя разными значениями слова «распределение»).

Для области Ω ⊆ R ^н, рассмотрим внутреннее произведение Дирихле

\langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }(Df(x),Dg(x))\,dx

для гладких функций ƒ и g на Ω, совпадающих с некоторой заданной граничной функцией на $\partial \Omega$ , где $Df\,(x)$ вектор градиента в $x\in \Omega$ . Затем возьмем замыкание гильбертова пространства относительно этого скалярного произведения , это пространство Соболева $H^{1}(\Omega )$ .

Континуум GFF $\varphi$ на $\Omega$ — гауссово случайное поле, индексированное $H^{1}(\Omega )$ , т. е. набор гауссовских случайных величин, по одной на каждую $f\in H^{1}(\Omega )$ , обозначенный $\langle \varphi ,f\rangle$ , такой, что ковариационная структура имеет вид $\mathrm {Cov} [\langle \varphi ,f\rangle ,\langle \varphi ,g\rangle ]=\langle f,g\rangle$ для всех $f,g\in H^{1}(\Omega )$ .

Такое случайное поле действительно существует, и его распределение уникально. Учитывая любой ортонормированный базис $\psi _{1},\psi _{2},\dots$ из $H^{1}(\Omega )$ (при заданном граничном условии) можно составить формальную бесконечную сумму

\varphi :=\sum _{k=1}^{\infty }\xi _{k}\psi _{k},

где $\xi _{k}$ являются iid стандартными нормальными переменными . Эта случайная сумма почти наверняка не будет существовать как элемент $H^{1}(\Omega )$ , так как если бы это было так, то

\langle \varphi ,\varphi \rangle =\sum _{k=1}^{\infty }\xi _{k}^{2}=\infty \quad {\textrm {a.s.}}

Однако она существует как случайная обобщенная функция , так как для любого $f\in H^{1}(\Omega )$ у нас есть

f=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\psi _{k},{\text{ with }}\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}^{2}<\infty ,

следовательно

\langle \varphi ,f\rangle :=\sum _{k=1}^{\infty }\xi _{k}c_{k}

представляет собой центрированную гауссову случайную величину с конечной дисперсией $\sum _{k}c_{k}^{2}.$

Особый случай: n = 1

Хотя приведенный выше аргумент показывает, что $\varphi$ не существует как случайный элемент $H^{1}(\Omega )$ , все же может быть, что это случайная функция на $\Omega$ в некотором большем функциональном пространстве. Действительно, в размерности $n=1$ , ортонормированный базис $H^{1}[0,1]$ дается

\psi _{k}(t):=\int _{0}^{t}\varphi _{k}(s)\,ds\,,

где

(\varphi _{k})

образуют ортонормированный базис

L^{2}[0,1]\,,

а потом $\varphi (t):=\sum _{k=1}^{\infty }\xi _{k}\psi _{k}(t)$ легко увидеть как одномерное броуновское движение (или броуновский мост, если граничные значения для $\varphi _{k}$ устроены именно так). Итак, в данном случае это случайная непрерывная функция (не принадлежащая $H^{1}[0,1]$ , однако). Например, если $(\varphi _{k})$ — базис Хаара , то это конструкция броуновского движения Леви, см., например, раздел 3 работы Переса (2001) .

С другой стороны, для $n\geq 2$ действительно можно показать, что она существует только как обобщенная функция, см. Sheffield (2007) .

Особый случай: n = 2

В размерности n = 2 конформная инвариантность континуума GFF очевидна из инвариантности внутреннего произведения Дирихле. Соответствующая двумерная конформная теория поля описывает безмассовый свободный скалярный бозон .

См. также

Броуновский лист

Ссылки

Дин, Дж.; Ли, младший; Перес, Ю. (2012), «Время покрытия, полное время и мажорирующие меры», Annals of Mathematics , 175 (3): 1409–1471, arXiv : 1004.4371 , doi : 10.4007/annals.2012.175.3.8
Дубеда, Ж. (2009), «СКВ и свободное поле: статистические суммы и связи», J. Amer. Математика. Соц. , 22 (4): 995–1054, arXiv : 0712.3018 , Bibcode : 2009JAMS...22..995D , doi : 10.1090/s0894-0347-09-00636-5 , S2CID 8065580
Кеньон, Р. (2001), «Доминос и гауссово свободное поле», Annals of Probability , 29 (3): 1128–1137, arXiv : math-ph/0002027 , doi : 10.1214/aop/1015345599 , MR 1872739 , S2CID 119640707
Перес, Ю. (2001), «Приглашение к выборке путей броуновского движения» (PDF) , конспекты лекций в Калифорнийском университете в Беркли
Райдер, Б.; Вираг, Б. (2007), «Шум в круговом законе и свободном поле Гаусса», Международные уведомления о математических исследованиях : идентификатор статьи rnm006, 32 страницы, arXiv : math/0606663 , doi : 10.1093/imrn/rnm006 , MR 2361453
Шеффилд, С. (2005), «Локальные наборы гауссовского свободного поля» , выступления в Институте Поля, Торонто, 22–24 сентября 2005 г., в рамках семинара «Перколяция, СКВ и смежные темы».
Шеффилд, С. (2007), «Гауссовы свободные поля для математиков», Теория вероятностей и смежные области , 139 (3–4): 521–541, arXiv : math.PR/0312099 , doi : 10.1007/s00440-006-0050 -1 , МР 2322706 , S2CID 14237927
Фридли, С.; Веленик, Ю. (2017). Статистическая механика решетчатых систем: конкретное математическое введение . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781107184824 .