Броуновский лист

В математике броуновский лист или многопараметрическое броуновское движение является многопараметрическим обобщением броуновского движения на гауссово случайное поле . Это означает, что мы обобщаем параметр «время» $t$ броуновского движения $B_{t}$ от $\mathbb {R} _{+}$ к $\mathbb {R} _{+}^{n}$.

Точный размер $n$ пространства нового параметра времени варьируется у разных авторов. Мы следуем Джону Б. Уолшу и определяем $(n,d)$-Броуновский лист, в то время как некоторые авторы определяют броуновский лист специально только для $n=2$, то, что мы называем $(2,d)$- Броуновский лист.

Это определение принадлежит Николаю Ченцову , существует несколько иная версия, принадлежащая Полю Леви .

(n,d)-броуновский лист

А $d$-мерный гауссов процесс $B=(B_{t},t\in \mathbb {R} _{+}^{n})$ называется $(n,d)$-Броуновский лист , если

• оно имеет нулевое среднее, т.е. $\mathbb {E} [B_{t}]=0$ для всех $t=(t_{1},\dots t_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{n}$
• для ковариационной функции

$\operatorname {cov} (B_{s}^{(i)},B_{t}^{(j)})={\begin{cases}\prod \limits _{l=1}^{n}\operatorname {min} (s_{l},t_{l})&{\text{if }}i=j,\\0&{\text{else}}\end{cases}}$

для $1\leq i,j\leq d$.

Характеристики

Из определения следует

$B(0,t_{2},\dots ,t_{n})=B(t_{1},0,\dots ,t_{n})=\cdots =B(t_{1},t_{2},\dots ,0)=0$

почти наверняка.

Примеры

• $(1,1)$-Броуновский лист – это броуновское движение в $\mathbb {R} ^{1}$.
• $(1,d)$-Броуновский лист – это броуновское движение в $\mathbb {R} ^{d}$.
• $(2,1)$-Броуновский лист – это многопараметрическое броуновское движение. $X_{t,s}$ с набором индексов $(t,s)\in [0,\infty )\times [0,\infty )$.

Определение Леви многопараметрического броуновского движения

В определении Леви приведенное выше условие ковариации заменяется следующим условием:

$\operatorname {cov} (B_{s},B_{t})={\frac {(|t|+|s|-|t-s|)}{2}}$

где $|\cdot |$ это евклидова метрика на $\mathbb {R} ^{n}$.

Существование абстрактной меры Винера

Рассмотрим пространство $\Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$ непрерывных функций вида $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ удовлетворяющий $$\lim \limits _{|x|\to \infty }\left(\log(e+|x|)\right)^{-1}|f(x)|=0.$$Это пространство становится сепарабельным банаховым пространством, если снабдить его нормой $$\|f\|_{\Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}:=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left(\log(e+|x|)\right)^{-1}|f(x)|.$$

Обратите внимание, что это пространство плотно включает в себя пространство нулей на бесконечности. $C_{0}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$ оснащенной единой нормой, поскольку можно связать единую норму с нормой $\Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$ сверху через теорему обращения Фурье .

Позволять ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$ быть пространством умеренных распределений . Тогда можно показать, что существует подходящее сепарабельное гильбертово пространство (и пространство Соболева ).

$H^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )\subseteq {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$

непрерывно вложенное как плотное подпространство в $C_{0}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$ и, таким образом, также в $\Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$ и что существует вероятностная мера $\omega$ на $\Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$ такой, что тройка $$(H^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} ),\Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} ),\omega )$$представляет собой абстрактное пространство Винера .

Путь $\theta \in \Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$ является $\omega$- почти наверняка

• Непрерывная экспонента по Гельдеру $\alpha \in (0,1/2)$
• нигде не непрерывен по Гельдеру для любого $\alpha >1/2$.

Это ручки броуновского листа в корпусе $d=1$. Для более высоких измерений $d$, конструкция аналогична.

См. также

• Гауссово свободное поле

Литература

• Струк, Дэниел (2011), Теория вероятностей: аналитический взгляд (2-е изд.), Кембридж .
• Уолш, Джон Б. (1986). Введение в стохастические уравнения в частных производных . Шпрингер Берлин Гейдельберг. ISBN  978-3-540-39781-6 .
• Хошневисан, Давар. Многопараметрические процессы: введение в случайные поля . Спрингер. ISBN  978-0387954592 .