Проявление ковариации

В общей теории относительности уравнение явно ковариантное — это уравнение, в котором все выражения являются тензорами . операции сложения, тензорного умножения , тензорного сжатия , повышения и понижения индексов , а также ковариантного дифференцирования В уравнении могут присутствовать . Запрещенные термины включают, помимо прочего, частные производные . Тензорные плотности , особенно подынтегральные выражения и переменные интегрирования, могут быть разрешены в явно ковариантных уравнениях, если они явно взвешены соответствующей степенью определителя метрики.

Написание уравнения в явно ковариантной форме полезно, поскольку оно гарантирует общую ковариантность при быстрой проверке. Если уравнение явно ковариантно и если оно сводится к правильному соответствующему уравнению специальной теории относительности при мгновенном вычислении в локальной инерциальной системе отсчета , то оно обычно является правильным обобщением специального релятивистского уравнения общей теории относительности.

Пример

Уравнение может быть лоренц-ковариантным, даже если оно не является явно ковариантным. Рассмотрим тензор электромагнитного поля

$F_{ab}\,=\,\partial _{a}A_{b}\,-\,\partial _{b}A_{a}\,$

где $A_{a}$ — электромагнитный четырехпотенциал в калибровке Лоренца . Приведенное выше уравнение содержит частные производные и поэтому не является явно ковариантным. Обратите внимание, что частные производные могут быть записаны через ковариантные производные и символы Кристоффеля как

$\partial _{a}A_{b}=\nabla _{a}A_{b}+\Gamma _{ab}^{c}A_{c}$

$\partial _{b}A_{a}=\nabla _{b}A_{a}+\Gamma _{ba}^{c}A_{c}$

Для метрики без кручения , принятой в общей теории относительности, мы можем обратиться к симметрии символов Кристоффеля

$\Gamma _{ab}^{c}-\Gamma _{ba}^{c}=0,$

что позволяет записать тензор поля в явно ковариантном виде

$F_{ab}\,=\,\nabla _{a}A_{b}\,-\,\nabla _{b}A_{a}.$

См. также

• Лоренц-ковариация
• Введение в математику общей теории относительности

Ссылки

• CB Паркер (1994). Энциклопедия физики МакГроу Хилла (2-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN  0-07-051400-3 .
• Джон Арчибальд Уилер ; К. Миснер ; К. С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. ISBN  0-7167-0344-0 .