Релятивистские уравнения Эйлера

В механике жидкости и астрофизике релятивистские уравнения Эйлера являются обобщением уравнений Эйлера , которые объясняют эффекты общей теории относительности . Они имеют применение в астрофизике высоких энергий и численной теории относительности , где они обычно используются для описания таких явлений, как гамма-всплески , явления аккреции и нейтронные звезды , часто с добавлением магнитного поля . Примечание: для соответствия литературным данным в этой статье используются натуральные единицы , а именно скорость света. $c=1$ и соглашение Эйнштейна о суммировании .

Мотивация

Для большинства жидкостей, наблюдаемых на Земле, достаточно традиционной механики жидкости, основанной на механике Ньютона. Однако по мере того, как скорость жидкости приближается к скорости света или движется через сильные гравитационные поля, давление приближается к плотности энергии ( $P\sim \rho$), эти уравнения больше не действительны. Такие ситуации часто возникают в астрофизических приложениях. Например, гамма-всплески часто имеют только скорости $0.01\%$ меньше скорости света, а нейтронные звезды обладают гравитационными полями, превышающими $10^{11}$ раз сильнее земного. В этих экстремальных обстоятельствах будет достаточно только релятивистского подхода к жидкостям.

Введение

Уравнения движения содержатся в уравнении неразрывности тензора энергии -импульса $T^{\mu \nu }$:

$\nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0,$

где $\nabla _{\mu }$ является ковариантной производной . Для идеальной жидкости

$T^{\mu \nu }\,=(e+p)u^{\mu }u^{\nu }+pg^{\mu \nu }.$

Здесь $e$ - общая плотность массы-энергии (включая массу покоя и плотность внутренней энергии) жидкости, $p$ давление жидкости , $u^{\mu }$ - четырехскоростная скорость жидкости, а $g^{\mu \nu }$ – метрический тензор . К приведенным выше уравнениям утверждение о обычно добавляется сохранении барионного числа . Если $n$ это плотность барионов , это можно сказать

$\nabla _{\mu }(nu^{\mu })=0.$

Эти уравнения сводятся к классическим уравнениям Эйлера, если трехскорость жидкости намного меньше скорости света, давление намного меньше плотности энергии , а в последней доминирует плотность массы покоя. Для замыкания этой системы уравнение состояния , например идеального газа или ферми-газа . также добавляется

Уравнения движения в плоском пространстве

В случае плоского пространства, т. $\nabla _{\mu }=\partial _{\mu }$ и используя подпись метрическую $(-,+,+,+)$, уравнения движения:

$(e+p)u^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }=-\partial ^{\nu }p-u^{\nu }u^{\mu }\partial _{\mu }p$

Где $e=\gamma \rho c^{2}+\rho \epsilon$ - плотность энергии системы, при этом $p$ быть давлением, и $u^{\mu }=\gamma (1,{\frac {\mathbf {v} }{c}})$ являющаяся четырехскоростностью системы.

Разлагая суммы и уравнения, мы имеем (используя ${\frac {d}{dt}}$ как материальная производная )

$(e+p){\frac {\gamma }{c}}{\frac {du^{\mu }}{dt}}=-\partial ^{\mu }p-{\frac {\gamma }{c}}{\frac {dp}{dt}}u^{\mu }$

Затем, выбирая $u^{\nu }=u^{i}={\frac {\gamma }{c}}v_{i}$ наблюдая за поведением самой скорости, мы видим, что уравнения движения принимают вид

$(e+p){\frac {\gamma }{c^{2}}}{\frac {d}{dt}}(\gamma v_{i})=-\partial _{i}p-{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}{\frac {dp}{dt}}v_{i}$

Заметим, что принимая нерелятивистский предел, мы имеем ${\frac {1}{c^{2}}}(e+p)=\gamma \rho +{\frac {1}{c^{2}}}\rho \epsilon +{\frac {1}{c^{2}}}p\approx \rho$. Это говорит о том, что в энергии жидкости преобладает ее энергия покоя .

В этом пределе мы имеем $\gamma \rightarrow 1$ и $c\rightarrow \infty$и видим, что мы возвращаем уравнение Эйлера $\rho {\frac {dv_{i}}{dt}}=-\partial _{i}p$.

Вывод уравнений движения.

Для определения уравнений движения воспользуемся следующим условием тензора пространственной проекции:

$\partial _{\mu }T^{\mu \nu }+u_{\alpha }u^{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=0$

Мы доказываем это, рассматривая $\partial _{\mu }T^{\mu \nu }+u_{\alpha }u^{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }$ а затем умножив каждую сторону на $u_{\nu }$. Сделав это и заметив, что $u^{\mu }u_{\mu }=-1$, у нас есть $u_{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \nu }-u_{\alpha }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }$. Переименование индексов $\alpha$ как $\nu$ показывает, что эти два полностью отменяются. Это сокращение является ожидаемым результатом сжатия временного тензора с пространственным тензором.

Теперь, когда мы отмечаем, что

$T^{\mu \nu }=wu^{\mu }u^{\nu }+pg^{\mu \nu }$

где мы неявно определили, что $w\equiv e+p$, мы можем это вычислить

${\begin{aligned}\partial _{\mu }T^{\mu \nu }&=(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }+w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+wu^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }+\partial ^{\nu }p\\\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }&=(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\alpha }+w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\alpha }+wu^{\mu }\partial _{\mu }u^{\alpha }+\partial ^{\alpha }p\end{aligned}}$

и таким образом

$u^{\nu }u_{\alpha }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }u^{\alpha }u_{\alpha }+w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }u^{\alpha }u_{\alpha }+wu^{\mu }u^{\nu }u_{\alpha }\partial _{\mu }u^{\alpha }+u^{\nu }u_{\alpha }\partial ^{\alpha }p$

Тогда отметим тот факт, что $u^{\alpha }u_{\alpha }=-1$ и $u^{\alpha }\partial _{\nu }u_{\alpha }=0$. Заметим, что второе тождество следует из первого. При этих упрощениях мы находим, что

$u^{\nu }u_{\alpha }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=-(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }-w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+u^{\nu }u^{\alpha }\partial _{\alpha }p$

и, таким образом, $\partial _{\mu }T^{\mu \nu }+u_{\alpha }u^{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=0$, у нас есть

$(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }+w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+wu^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }+\partial ^{\nu }p-(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }-w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+u^{\nu }u^{\alpha }\partial _{\alpha }p=0$

У нас есть две отмены, и, таким образом, остается

$(e+p)u^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }=-\partial ^{\nu }p-u^{\nu }u^{\alpha }\partial _{\alpha }p$

См. также

• Релятивистская теплопроводность
• Уравнение состояния (космология)