Уравнение состояния (космология)

В космологии уравнение состояния идеальной жидкости характеризуется безразмерным числом $w$, равный отношению его давления $p$ его плотности энергии $\rho$: $$w\equiv {\frac {p}{\rho }}.$$Оно тесно связано с термодинамическим уравнением состояния и законом идеального газа .

Уравнение

Уравнение состояния идеального газа можно записать в виде $$p=\rho _{m}RT=\rho _{m}C^{2}$$где $\rho _{m}$ это массовая плотность, $R$ - особая газовая постоянная, $T$ это температура и $C={\sqrt {RT}}$ – характерная тепловая скорость молекул. Таким образом $$w\equiv {\frac {p}{\rho }}={\frac {\rho _{m}C^{2}}{\rho _{m}c^{2}}}={\frac {C^{2}}{c^{2}}}\approx 0$$где $c$ это скорость света, $\rho =\rho _{m}c^{2}$ и $C\ll c$ для «холодного» газа.

Уравнения FLRW и уравнение состояния

Уравнение состояния может использоваться в уравнениях Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера (FLRW) для описания эволюции изотропной Вселенной, заполненной идеальной жидкостью. Если $a$ это масштабный коэффициент тогда $$\rho \propto a^{-3(1+w)}.$$Если жидкость является доминирующей формой материи в плоской Вселенной , то $$a\propto t^{\frac {2}{3(1+w)}},$$где $t$ самое подходящее время.

В общем случае уравнение ускорения Фридмана имеет вид $$3{\frac {\ddot {a}}{a}}=\Lambda -4\pi G(\rho +3p)$$где $\Lambda$ космологическая постоянная и $G$ – постоянная Ньютона , а ${\ddot {a}}$ — вторая собственная производная масштабного фактора по времени.

Если мы определим (то, что можно было бы назвать «эффективной») плотностью энергии и давлением как $$\rho '\equiv \rho +{\frac {\Lambda }{8\pi G}}$$$$p'\equiv p-{\frac {\Lambda }{8\pi G}}$$и $$p'=w'\rho '$$уравнение ускорения можно записать как $${\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4}{3}}\pi G\left(\rho '+3p'\right)=-{\frac {4}{3}}\pi G(1+3w')\rho '$$

Нерелятивистские частицы

Уравнение состояния обычной нерелятивистской « материи» (например, холодной пыли) имеет вид $w=0$, что означает, что плотность его энергии уменьшается по мере $\rho \propto a^{-3}=V^{-1}$, где $V$ это объем. В расширяющейся Вселенной полная энергия нерелятивистской материи остается постоянной, а ее плотность уменьшается с увеличением объема.

Ультрарелятивистские частицы

Уравнение состояния ультрарелятивистского «излучения» (включая нейтрино и в самой ранней Вселенной другие частицы, которые позже стали нерелятивистскими) имеет вид $w=1/3$ а это означает, что плотность его энергии уменьшается по мере того, как $\rho \propto a^{-4}$. В расширяющейся Вселенной плотность энергии излучения уменьшается быстрее, чем расширение объема, поскольку его длина волны смещена в красную сторону .

Ускорение космической инфляции

Космическую инфляцию и ускоренное расширение Вселенной можно охарактеризовать уравнением состояния темной энергии . В простейшем случае уравнение состояния космологической постоянной имеет вид $w=-1$. В этом случае приведенное выше выражение для масштабного коэффициента недействительно и $a\propto e^{Ht}$, где константа H — параметр Хаббла . В более общем плане расширение Вселенной ускоряется для любого уравнения состояния. $w<-1/3$. Ускоренное расширение Вселенной действительно наблюдалось. По наблюдениям, значение уравнения состояния космологической постоянной близко к -1.

Гипотетическая фантомная энергия будет иметь уравнение состояния $w<-1$, и это вызовет Большой разрыв . Используя существующие данные, пока невозможно отличить фантомные $w<-1$ и не фантом $w\geq -1$.

Жидкости

В расширяющейся Вселенной жидкости с более крупными уравнениями состояния исчезают быстрее, чем жидкости с меньшими уравнениями состояния. этом причина плоскостности и монополя проблем Большого взрыва : кривизна В $w=-1/3$ и монополи имеют $w=0$, поэтому, если бы они существовали во время раннего Большого взрыва, они все еще должны быть видимы сегодня. Эти проблемы решаются космической инфляцией, которая $w\approx -1$. Измерение уравнения состояния темной энергии является одним из крупнейших усилий наблюдательной космологии . Путем точного измерения $w$, есть надежда, что космологическую постоянную можно будет отличить от квинтэссенции , которая $w\neq -1$.

Скалярное моделирование

Скалярное поле $\phi$ можно рассматривать как своего рода идеальную жидкость с уравнением состояния $$w={\frac {{\frac {1}{2}}{\dot {\phi }}^{2}-V(\phi )}{{\frac {1}{2}}{\dot {\phi }}^{2}+V(\phi )}},$$где ${\dot {\phi }}$ является производной по времени $\phi$ и $V(\phi )$ это потенциальная энергия. Бесплатно ( $V=0$) скалярное поле имеет $w=1$, а энергия с исчезающей кинетической энергией эквивалентна космологической постоянной: $w=-1$. Любое уравнение состояния между ними, но не пересекающее $w=-1$ барьер, известный как Фантомная разделительная линия (PDL), достижима, что делает скалярные поля полезными моделями для многих явлений в космологии.