Логарифмическое уравнение Шрёдингера

В теоретической физике логарифмическое уравнение Шрёдингера (иногда сокращенно LNSE или LogSE ) — одна из нелинейных модификаций уравнения Шрёдингера , впервые предложенного Джеральдом Х. Розеном в его релятивистской версии (с Даламбертианом вместо лапласиана и временем первого порядка). производная) в 1969 году. ^{[ 1 ]} Это классическое волновое уравнение с приложениями к расширениям квантовой механики . ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} квантовая оптика , ^{[ 5 ]} ядерная физика , ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} явления переноса и диффузии , ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} открытые квантовые системы и теория информации , ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]} ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}^{[ 15 ]} эффективной квантовой гравитации и физического вакуума модели ^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}^{[ 18 ]}^{[ 19 ]} теория сверхтекучести и бозе-эйнштейновской конденсации . ^{[ 20 ]}^{[ 21 ]} Это пример интегрируемой модели .

Уравнение

Логарифмическое уравнение Шредингера является уравнением в частных производных . В математике и математической физике часто используют его безразмерную форму: $i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\nabla ^{2}\psi +\psi \ln |\psi |^{2}=0.$ для комплексной функции $ψ = ψ (x, t)$ частиц вектора положения $x = (x, y, z)$ в момент времени $t$ , и $\nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}$ является лапласианом ψ $в$ координатах декартовых . Логарифмический член $\psi \ln |\psi |^{2}$ Было показано, что он незаменим при определении скорости звука в масштабах кубического корня из давления для гелия-4 при очень низких температурах. ^{[ 22 ]} Этот логарифмический член необходим и для холодных атомов натрия. ^{[ 23 ]} Несмотря на логарифмический член, в случае центральных потенциалов было показано, что даже для ненулевого углового момента LogSE сохраняет определенные симметрии, аналогичные тем, которые обнаружены в его линейном аналоге, что делает его потенциально применимым к атомным и ядерным системам. . ^{[ 24 ]}

Релятивистская версия этого уравнения может быть получена путем замены оператора производной на даламбериан , аналогично уравнению Клейна-Гордона . Солитоноподобные решения, известные как гауссоны, в ряде случаев занимают видное место в качестве аналитических решений этого уравнения.

См. также

Ссылки

^ Розен, Джеральд (1969). «Ковариация дилатации и точные решения в локальных релятивистских теориях поля». Физический обзор . 183 (5): 1186–1188. Бибкод : 1969PhRv..183.1186R . дои : 10.1103/PhysRev.183.1186 . ISSN 0031-899X .
^ Бялыницкий-Бирула, Иво; Мысельский, Ежи (1976). «Нелинейная волновая механика». Анналы физики . 100 (1–2): 62–93. Бибкод : 1976АнФиз.100...62Б . дои : 10.1016/0003-4916(76)90057-9 . ISSN 0003-4916 .
^ Бялыницкий-Бирула, Иво; Мисельский, Ежи (1975). «Соотношения неопределенностей для информационной энтропии в волновой механике» . Связь в математической физике . 44 (2): 129–132. Бибкод : 1975CMaPh..44..129B . дои : 10.1007/BF01608825 . ISSN 0010-3616 . S2CID 122277352 .
^ Бялыницкий-Бирула, Иво; Мысельский, Ежи (1979). «Гауссоны: солитоны логарифмического уравнения Шредингера». Физика Скрипта . 20 (3–4): 539–544. Бибкод : 1979PhyS...20..539B . дои : 10.1088/0031-8949/20/3-4/033 . ISSN 0031-8949 . S2CID 250833292 .
^ Бульян, Х.; Шибер, А.; Солячич, М.; Шварц, Т.; Сегев, М.; Христодулидес, Д.Н. (2003). «Некогерентные солитоны белого света в логарифмически насыщаемых немгновенных нелинейных средах» . Физический обзор E . 68 (3): 036607. Бибкод : 2003PhRvE..68c6607B . дои : 10.1103/PhysRevE.68.036607 . ISSN 1063-651X . ПМИД 14524912 . S2CID 831827 .
^ Хефтер, Эрнст Ф. (1985). «Применение нелинейного уравнения Шрёдингера с логарифмическим неоднородным членом к ядерной физике». Физический обзор А. 32 (2): 1201–1204. Бибкод : 1985PhRvA..32.1201H . дои : 10.1103/PhysRevA.32.1201 . ISSN 0556-2791 . ПМИД 9896178 .
^ Картавенко В.Г.; Гриднев К.А.; Грейнер, В. (1998). «Нелинейные эффекты в проблеме ядерного кластера». Международный журнал современной физики Э. 07 (2): 287–299. arXiv : nucl-th/9907015 . Бибкод : 1998IJMPE...7..287K . дои : 10.1142/S0218301398000129 . ISSN 0218-3013 . S2CID 19009168 .
^ Мартино, С. Де; Фаланга, М; Годано, К; Лауро, Дж. (2003). «Логарифмическое уравнение типа Шредингера как модель переноса магмы». Письма по еврофизике (EPL) . 63 (3): 472–475. Бибкод : 2003EL.....63..472D . дои : 10.1209/epl/i2003-00547-6 . ISSN 0295-5075 . S2CID 250736155 .
^ Ханссон, Т.; Андерсон, Д.; Лисак, М. (2009). «Распространение частично когерентных солитонов в насыщаемых логарифмических средах: сравнительный анализ». Физический обзор А. 80 (3): 033819. Бибкод : 2009PhRvA..80c3819H . дои : 10.1103/PhysRevA.80.033819 . ISSN 1050-2947 .
^ Ясуэ, Кунио (1978). «Квантовая механика неконсервативных систем». Анналы физики . 114 (1–2): 479–496. Бибкод : 1978AnPhy.114..479Y . дои : 10.1016/0003-4916(78)90279-8 . ISSN 0003-4916 .
^ Лемос, Нивалдо А. (1980). «Диссипативные силы и алгебра операторов стохастической квантовой механики». Буквы по физике А. 78 (3): 239–241. Бибкод : 1980PhLA...78..239L . дои : 10.1016/0375-9601(80)90080-8 . ISSN 0375-9601 .
^ Брашер, Джеймс Д. (1991). «Нелинейная волновая механика, теория информации и термодинамика». Международный журнал теоретической физики . 30 (7): 979–984. Бибкод : 1991IJTP...30..979B . дои : 10.1007/BF00673990 . ISSN 0020-7748 . S2CID 120250281 .
^ Шух, Дитер (1997). «Неунитарная связь между явно нестационарным и нелинейным подходами к описанию диссипативных квантовых систем». Физический обзор А. 55 (2): 935–940. Бибкод : 1997PhRvA..55..935S . дои : 10.1103/PhysRevA.55.935 . ISSN 1050-2947 .
^ MP Дэвидсон, Нуов. Ким. Б 116 (2001) 1291.
^ Лопес, Хосе Л. (2004). «Нелинейный подход типа Гинзбурга-Ландау к квантовой диссипации». Физический обзор E . 69 (2): 026110. Бибкод : 2004PhRvE..69b6110L . дои : 10.1103/PhysRevE.69.026110 . ISSN 1539-3755 . ПМИД 14995523 .
^ Злощастиев, К.Г. (2010). «Логарифмическая нелинейность в теориях квантовой гравитации: происхождение времени и последствия наблюдений». Гравитация и космология . 16 (4): 288–297. arXiv : 0906.4282 . Бибкод : 2010GrCo...16..288Z . дои : 10.1134/S0202289310040067 . ISSN 0202-2893 . S2CID 119187916 .
^ Злощастиев, Константин Г. (2011). «Вакуумный эффект Черенкова в логарифмической нелинейной квантовой теории». Буквы по физике А. 375 (24): 2305–2308. arXiv : 1003.0657 . Бибкод : 2011PhLA..375.2305Z . doi : 10.1016/j.physleta.2011.05.012 . ISSN 0375-9601 . S2CID 118152360 .
^ Злощастиев, К.Г. (2011). «Спонтанное нарушение симметрии и генерация массы как встроенные явления логарифмической нелинейной квантовой теории». Акта Физика Полоника Б. 42 (2): 261–292. arXiv : 0912.4139 . Бибкод : 2011AcPPB..42..261Z . дои : 10.5506/APhysPolB.42.261 . ISSN 0587-4254 . S2CID 118152708 .
^ Скотт, штат Техас; Чжан, Сяндун; Манн, Роберт; Плата, GJ (2016). «Каноническая редукция дилатонической гравитации в измерениях 3 + 1». Физический обзор D . 93 (8): 084017. arXiv : 1605.03431 . Бибкод : 2016PhRvD..93h4017S . дои : 10.1103/PhysRevD.93.084017 .
^ Авдеенков, Александр В; Злощастиев, Константин Г (2011). «Квантовые бозе-жидкости с логарифмической нелинейностью: самоустойчивость и возникновение пространственной протяженности». Журнал физики B: атомная, молекулярная и оптическая физика . 44 (19): 195303. arXiv : 1108.0847 . Бибкод : 2011JPhB...44s5303A . дои : 10.1088/0953-4075/44/19/195303 . ISSN 0953-4075 . S2CID 119248001 .
^ Злощастиев, Константин Г. (2019). «Температурная динамика квантовых жидкостей: логарифмическая нелинейность, фазовая структура и возрастающая сила». Межд. Дж. Мод. Физ. Б. 33 (17): 1950184. arXiv : 2001.04688 . Бибкод : 2019IJMPB..3350184Z . дои : 10.1142/S0217979219501844 . S2CID 199674799 .
^ Скотт, штат Техас; Злощастиев, КГ (2019). «Решение загадки распространения звука в жидком гелии при низких температурах». Физика низких температур . 45 (12): 1231–1236. arXiv : 2006.08981 . Бибкод : 2019LTP....45.1231S . дои : 10.1063/10.0000200 . S2CID 213962795 .
^ Злощастиев, Константин (2022). «Решение загадки распространения звука в разбавленном конденсате Бозе – Эйнштейна». Международный журнал современной физики Б. 36 (20): 2250121. arXiv : 2211.10570 . Бибкод : 2022IJMPB..3650121Z . дои : 10.1142/S0217979222501211 . S2CID 249262506 .
^ Шерцер, Дж . ; Скотт, TC (2020). «Решение трехмерного логарифмического уравнения Шредингера с центральным потенциалом» . Дж. Физ. Коммун . 4 (6): 065004. Бибкод : 2020JPhCo...4f5004S . дои : 10.1088/2399-6528/ab941d .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Уравнение Шрёдингера» . Математический мир .

[Rosen1969-1] Розен, Джеральд (1969). «Ковариация дилатации и точные решения в локальных релятивистских теориях поля». Физический обзор . 183 (5): 1186–1188. Бибкод : 1969PhRv..183.1186R . дои : 10.1103/PhysRev.183.1186 . ISSN 0031-899X .

[Bialynicki-BirulaMycielski1976-2] Бялыницкий-Бирула, Иво; Мысельский, Ежи (1976). «Нелинейная волновая механика». Анналы физики . 100 (1–2): 62–93. Бибкод : 1976АнФиз.100...62Б . дои : 10.1016/0003-4916(76)90057-9 . ISSN 0003-4916 .

[Białynicki-BirulaMycielski1975-3] Бялыницкий-Бирула, Иво; Мисельский, Ежи (1975). «Соотношения неопределенностей для информационной энтропии в волновой механике» . Связь в математической физике . 44 (2): 129–132. Бибкод : 1975CMaPh..44..129B . дои : 10.1007/BF01608825 . ISSN 0010-3616 . S2CID 122277352 .

[Bialynicki-BirulaMycielski1979-4] Бялыницкий-Бирула, Иво; Мысельский, Ежи (1979). «Гауссоны: солитоны логарифмического уравнения Шредингера». Физика Скрипта . 20 (3–4): 539–544. Бибкод : 1979PhyS...20..539B . дои : 10.1088/0031-8949/20/3-4/033 . ISSN 0031-8949 . S2CID 250833292 .

[BuljanŠiber2003-5] Бульян, Х.; Шибер, А.; Солячич, М.; Шварц, Т.; Сегев, М.; Христодулидес, Д.Н. (2003). «Некогерентные солитоны белого света в логарифмически насыщаемых немгновенных нелинейных средах» . Физический обзор E . 68 (3): 036607. Бибкод : 2003PhRvE..68c6607B . дои : 10.1103/PhysRevE.68.036607 . ISSN 1063-651X . ПМИД 14524912 . S2CID 831827 .

[Hefter1985-6] Хефтер, Эрнст Ф. (1985). «Применение нелинейного уравнения Шрёдингера с логарифмическим неоднородным членом к ядерной физике». Физический обзор А. 32 (2): 1201–1204. Бибкод : 1985PhRvA..32.1201H . дои : 10.1103/PhysRevA.32.1201 . ISSN 0556-2791 . ПМИД 9896178 .

[KartavenkoGridnev1998-7] Картавенко В.Г.; Гриднев К.А.; Грейнер, В. (1998). «Нелинейные эффекты в проблеме ядерного кластера». Международный журнал современной физики Э. 07 (2): 287–299. arXiv : nucl-th/9907015 . Бибкод : 1998IJMPE...7..287K . дои : 10.1142/S0218301398000129 . ISSN 0218-3013 . S2CID 19009168 .

[MartinoFalanga2003-8] Мартино, С. Де; Фаланга, М; Годано, К; Лауро, Дж. (2003). «Логарифмическое уравнение типа Шредингера как модель переноса магмы». Письма по еврофизике (EPL) . 63 (3): 472–475. Бибкод : 2003EL.....63..472D . дои : 10.1209/epl/i2003-00547-6 . ISSN 0295-5075 . S2CID 250736155 .

[HanssonAnderson2009-9] Ханссон, Т.; Андерсон, Д.; Лисак, М. (2009). «Распространение частично когерентных солитонов в насыщаемых логарифмических средах: сравнительный анализ». Физический обзор А. 80 (3): 033819. Бибкод : 2009PhRvA..80c3819H . дои : 10.1103/PhysRevA.80.033819 . ISSN 1050-2947 .

[Yasue1978-10] Ясуэ, Кунио (1978). «Квантовая механика неконсервативных систем». Анналы физики . 114 (1–2): 479–496. Бибкод : 1978AnPhy.114..479Y . дои : 10.1016/0003-4916(78)90279-8 . ISSN 0003-4916 .

[Lemos1980-11] Лемос, Нивалдо А. (1980). «Диссипативные силы и алгебра операторов стохастической квантовой механики». Буквы по физике А. 78 (3): 239–241. Бибкод : 1980PhLA...78..239L . дои : 10.1016/0375-9601(80)90080-8 . ISSN 0375-9601 .

[Brasher1991-12] Брашер, Джеймс Д. (1991). «Нелинейная волновая механика, теория информации и термодинамика». Международный журнал теоретической физики . 30 (7): 979–984. Бибкод : 1991IJTP...30..979B . дои : 10.1007/BF00673990 . ISSN 0020-7748 . S2CID 120250281 .

[Schuch1997-13] Шух, Дитер (1997). «Неунитарная связь между явно нестационарным и нелинейным подходами к описанию диссипативных квантовых систем». Физический обзор А. 55 (2): 935–940. Бибкод : 1997PhRvA..55..935S . дои : 10.1103/PhysRevA.55.935 . ISSN 1050-2947 .

[14] MP Дэвидсон, Нуов. Ким. Б 116 (2001) 1291.

[López2004-15] Лопес, Хосе Л. (2004). «Нелинейный подход типа Гинзбурга-Ландау к квантовой диссипации». Физический обзор E . 69 (2): 026110. Бибкод : 2004PhRvE..69b6110L . дои : 10.1103/PhysRevE.69.026110 . ISSN 1539-3755 . ПМИД 14995523 .

[Zloshchastiev2010-16] Злощастиев, К.Г. (2010). «Логарифмическая нелинейность в теориях квантовой гравитации: происхождение времени и последствия наблюдений». Гравитация и космология . 16 (4): 288–297. arXiv : 0906.4282 . Бибкод : 2010GrCo...16..288Z . дои : 10.1134/S0202289310040067 . ISSN 0202-2893 . S2CID 119187916 .

[Zloshchastiev2011-17] Злощастиев, Константин Г. (2011). «Вакуумный эффект Черенкова в логарифмической нелинейной квантовой теории». Буквы по физике А. 375 (24): 2305–2308. arXiv : 1003.0657 . Бибкод : 2011PhLA..375.2305Z . doi : 10.1016/j.physleta.2011.05.012 . ISSN 0375-9601 . S2CID 118152360 .

[Zloshchastiev2011a-18] Злощастиев, К.Г. (2011). «Спонтанное нарушение симметрии и генерация массы как встроенные явления логарифмической нелинейной квантовой теории». Акта Физика Полоника Б. 42 (2): 261–292. arXiv : 0912.4139 . Бибкод : 2011AcPPB..42..261Z . дои : 10.5506/APhysPolB.42.261 . ISSN 0587-4254 . S2CID 118152708 .

[19] Скотт, штат Техас; Чжан, Сяндун; Манн, Роберт; Плата, GJ (2016). «Каноническая редукция дилатонической гравитации в измерениях 3 + 1». Физический обзор D . 93 (8): 084017. arXiv : 1605.03431 . Бибкод : 2016PhRvD..93h4017S . дои : 10.1103/PhysRevD.93.084017 .

[AvdeenkovZloshchastiev2011-20] Авдеенков, Александр В; Злощастиев, Константин Г (2011). «Квантовые бозе-жидкости с логарифмической нелинейностью: самоустойчивость и возникновение пространственной протяженности». Журнал физики B: атомная, молекулярная и оптическая физика . 44 (19): 195303. arXiv : 1108.0847 . Бибкод : 2011JPhB...44s5303A . дои : 10.1088/0953-4075/44/19/195303 . ISSN 0953-4075 . S2CID 119248001 .

[21] Злощастиев, Константин Г. (2019). «Температурная динамика квантовых жидкостей: логарифмическая нелинейность, фазовая структура и возрастающая сила». Межд. Дж. Мод. Физ. Б. 33 (17): 1950184. arXiv : 2001.04688 . Бибкод : 2019IJMPB..3350184Z . дои : 10.1142/S0217979219501844 . S2CID 199674799 .

[22] Скотт, штат Техас; Злощастиев, КГ (2019). «Решение загадки распространения звука в жидком гелии при низких температурах». Физика низких температур . 45 (12): 1231–1236. arXiv : 2006.08981 . Бибкод : 2019LTP....45.1231S . дои : 10.1063/10.0000200 . S2CID 213962795 .

[23] Злощастиев, Константин (2022). «Решение загадки распространения звука в разбавленном конденсате Бозе – Эйнштейна». Международный журнал современной физики Б. 36 (20): 2250121. arXiv : 2211.10570 . Бибкод : 2022IJMPB..3650121Z . дои : 10.1142/S0217979222501211 . S2CID 249262506 .

[24] Шерцер, Дж . ; Скотт, TC (2020). «Решение трехмерного логарифмического уравнения Шредингера с центральным потенциалом» . Дж. Физ. Коммун . 4 (6): 065004. Бибкод : 2020JPhCo...4f5004S . дои : 10.1088/2399-6528/ab941d .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]