Гауссон (физика)

Гауссон солитон — это , который является решением логарифмического уравнения Шредингера , которое описывает квантовую частицу в возможной нелинейной квантовой механике . Логарифмическое уравнение Шрёдингера сохраняет размерная однородность уравнения, т.е. произведение независимых решений в одном измерении остается решением во многих измерениях. Хотя сама по себе нелинейность не может вызвать квантовую запутанность между измерениями, логарифмическое уравнение Шредингера можно решить путем разделения переменных .

Пусть нелинейное логарифмическое уравнение Шредингера в одном измерении будет иметь вид ( $\hbar =1$, единица массы $m=1$):

$i{\partial \psi \over \partial t}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-a\ln |\psi |^{2}\psi$

Предположим, что галилеева инвариантность , т.е.

${\frac {}{}}\psi (x,t)=e^{-iEt}\psi (x-kt)$

Замена

${\frac {}{}}y=x-kt$

Первое уравнение можно записать как

$-{\frac {1}{2}}\left[{{\frac {\partial }{\partial y}}+ik}\right]^{2}\psi -a\ln |\psi |^{2}\psi =\left(E+{\frac {k^{2}}{2}}\right)\psi$

Подставляя дополнительно

${\frac {}{}}\Psi (y)=e^{-iky}\psi (y)$

и предполагая

$\Psi (y)=Ne^{-\omega y^{2}/2}$

получаем нормальное уравнение Шрёдингера для квантового гармонического осциллятора :

$-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial y^{2}}}+a\omega y^{2}\Psi =\left(E+{\frac {k^{2}}{2}}+N^{2}a\right)\Psi$

Таким образом, решением является нормальное основное состояние гармонического осциллятора, если только $(a>0)$

${\frac {}{}}a\omega =\omega ^{2}/2$

или

${\frac {}{}}\omega =2a$

Таким образом, полное солитонное решение имеет вид

${\frac {}{}}\psi (x,t)=Ne^{-iEt}e^{ik{(x-kt)}}e^{-a({x-kt})^{2}}$

где

${\frac {}{}}E=a(1-N^{2})-k^{2}/2$

Это решение описывает солитон , движущийся с постоянной скоростью и не меняющий форма (модуль) функции Гаусса . Когда добавляется потенциал, один Гауссон не только может обеспечить точное решение ряда случаев логарифмического уравнения Шредингера, но было обнаружено, что линейная комбинация Гауссонов также может очень точно аппроксимировать возбужденные состояния. Это свойство суперпозиции гауссонов было продемонстрировано для квадратичных потенциалы.