Перегрин-солитон

Трехмерное представление пространственно-временной эволюции солитона Перегрина

Солитон Перегрина ) (или Перегрина бризер является аналитическим решением нелинейного уравнения Шрёдингера . Это решение было предложено в 1983 году Хауэллом Перегрином , исследователем математического факультета Бристольского университета .

Основные свойства

В отличие от обычного фундаментального солитона , который может сохранять свой профиль неизменным во время распространения, солитон Перегрина имеет двойную пространственно-временную локализацию. Поэтому, начиная со слабого колебания на непрерывном фоне, солитон Перегрина развивается с прогрессивным увеличением своей амплитуды и сужением временной длительности. В точке максимального сжатия амплитуда в три раза превышает уровень непрерывного фона (а если рассматривать интенсивность в оптике, то между пиковой интенсивностью и окружающим фоном существует коэффициент 9). После этой точки максимального сжатия амплитуда волны уменьшается, а ее ширина увеличивается.

Эти особенности солитона Перегрина полностью соответствуют количественным критериям, обычно используемым для квалификации волны как волны-убийцы . Поэтому солитон Перегрина является привлекательной гипотезой для объяснения образования тех волн, которые имеют большую амплитуду и могут появляться из ниоткуда и бесследно исчезать.

Математическое выражение

В пространственно-временной области

Пространственные и временные профили солитона Перегрина, полученные в точке максимального сжатия

Солитон Перегрина представляет собой решение одномерного нелинейного уравнения Шрёдингера, которое можно записать в нормированных единицах следующим образом:

$i{\frac {\partial \psi }{\partial \tau }}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \xi ^{2}}}+|\psi |^{2}\psi =0$

с $\xi$ пространственная координата и $\tau$ временная координата. $\psi (\xi ,\tau )$ являющаяся огибающей поверхностной волны на глубокой воде. Дисперсия (заметим, что является аномальной, а нелинейность — самофокусирующейся аналогичные результаты можно было бы получить для среды с нормальной дисперсией в сочетании с дефокусирующей нелинейностью).

Аналитическое выражение Перегрина:

$\psi (\xi ,\tau )=\left[1-{\frac {4(1+2i\tau )}{1+4\xi ^{2}+4\tau ^{2}}}\right]e^{i\tau }$

так что временной и пространственный максимумы получены для $\xi =0$ и $\tau =0$.

В спектральной области

Эволюция спектра солитона Перегрина

Также можно математически выразить солитон Перегрина в соответствии с пространственной частотой $\eta$:

${\tilde {\psi }}(\eta ,\tau )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int {\psi (\xi ,\tau )e^{i\eta \xi }d\xi }={\sqrt {2\pi }}e^{i\tau }\left[{\frac {1+2i\tau }{\sqrt {1+4\tau ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {|\eta |}{2}}{\sqrt {1+4\tau ^{2}}}\right)-\delta (\eta )\right]$

с $\delta$ является дельта-функцией Дирака .

Это соответствует модулю (при этом постоянный непрерывный фон здесь опущен): $|{\tilde {\psi }}(\eta ,\tau )|={\sqrt {2\pi }}\exp \left(-{\frac {|\eta |}{2}}{\sqrt {1+4\tau ^{2}}}\right).$

Можно заметить, что в любой момент времени $\tau$модуль спектра имеет типичную треугольную форму при построении в логарифмическом масштабе. Самый широкий спектр получается для $\tau =0$, что соответствует максимуму сжатия пространственно-временной нелинейной структуры.

Различные интерпретации солитона Перегрина

Перегрин-солитон и другие нелинейные решения

Как рациональный солитон

Солитон Перегрина является рациональным солитоном первого порядка.

Как передышка Ахмедиева

Солитон Перегрина также можно рассматривать как предельный случай пространственно-периодического бризера Ахмедиева , когда период стремится к бесконечности.

Как солитон Кузнецова-Ма

Солитон Перегрина можно также рассматривать как предельный случай периодического во времени бризера Кузнецова-Ма, когда период стремится к бесконечности.

Экспериментальная демонстрация

Математические предсказания Г. Перегрина первоначально были закреплены в области гидродинамики . Однако это сильно отличается от случая, когда солитон Перегрина был впервые экспериментально сгенерирован и охарактеризован.

Генерация в оптике

Запись временного профиля солитона Перегрина в оптике

В 2010 году, более чем через 25 лет после первой работы Перегрина, исследователи воспользовались аналогией, которую можно провести между гидродинамикой и оптикой, чтобы генерировать солитоны Перегрина в оптических волокнах . Фактически, эволюция света в оптоволокне и эволюция поверхностных волн в глубокой воде моделируются нелинейным уравнением Шредингера (обратите внимание, однако, что необходимо поменять местами пространственные и временные переменные). Такая аналогия использовалась в прошлом для генерации оптических солитонов в оптических волокнах.

Точнее, нелинейное уравнение Шрёдингера можно записать в контексте оптических волокон в следующей размерной форме:

$i{\frac {\partial \psi }{\partial z}}-{\frac {\beta _{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}+\gamma |\psi |^{2}\psi =0$

с $\beta _{2}$ дисперсия второго порядка (предполагаемая аномальная, т.е. $\beta _{2}<0$) и $\gamma$ нелинейный коэффициент Керра. $z$ и $t$ – расстояние распространения и временная координата соответственно.

В этом контексте солитон Перегрина имеет следующее размерное выражение:

$\psi (z,t)={\sqrt {P_{0}}}\left[1-{\frac {4\left(1+2i{\dfrac {z}{L_{NL}}}\right)}{1+4\left({\dfrac {t}{T_{0}}}\right)^{2}+4\left({\dfrac {z}{L_{NL}}}\right)^{2}}}\right]e^{\dfrac {iz}{L_{NL}}}$.

$L_{NL}$ нелинейная длина, определяемая как $L_{NL}={\dfrac {1}{\gamma P_{0}}}$ с $P_{0}$ будучи силой непрерывного фона. $T_{0}$ представляет собой продолжительность, определяемую как $T_{0}={\sqrt {\beta _{2}L_{NL}}}$.

Используя исключительно стандартные компоненты оптической связи , было показано, что даже при приближенном начальном условии (в случае данной работы — начальном синусоидальном биении) можно сгенерировать профиль, очень близкий к идеальному солитону Перегрина. Однако неидеальные входные условия приводят к появлению подструктур после точки максимального сжатия. Эти субструктуры также имеют профиль, близкий к солитону Перегрина: что можно аналитически объяснить с помощью преобразования Дарбу .

Экспериментально подтверждена также типичная треугольная форма спектра.

Генерация в гидродинамике

Эти результаты в оптике были подтверждены в 2011 году в гидродинамике. с экспериментами, проведенными в резервуаре с водными волнами длиной 15 м . В 2013 году в дополнительных экспериментах с использованием масштабной модели танкера-химовоза обсуждались потенциальные разрушительные последствия для корабля.

Генерация в других областях физики

Другие эксперименты, проведенные в физике плазмы, также выявили появление солитонов Перегрина в других полях, управляемых нелинейным уравнением Шредингера.

См. также

• Нелинейное уравнение Шрёдингера
• передышка
• Бешеная волна ,
• Оптические волны-убийцы