Солитон (оптика)

В оптике термин «солитон» используется для обозначения любого оптического поля , которое не меняется при распространении из-за тонкого баланса между нелинейными и дисперсионными эффектами в среде. Существует два основных вида солитонов:

• пространственные солитоны : нелинейный эффект может уравновесить дисперсию . Электромагнитное поле может изменять показатель преломления среды при распространении, создавая таким образом структуру, аналогичную волокну с градиентным показателем преломления . Если поле также является распространяющейся модой созданного им проводника, то оно останется ограниченным и будет распространяться, не меняя своей формы.
• временные солитоны : если электромагнитное поле уже пространственно ограничено, можно посылать импульсы, которые не изменят свою форму, поскольку нелинейные эффекты уравновесят дисперсию . Эти солитоны были открыты первыми, и в оптике их часто называют просто «солитонами».

Пространственные солитоны

how a lens works

Чтобы понять, как может существовать пространственный солитон, нам нужно сделать некоторые соображения относительно простой выпуклой линзы . Как показано на рисунке справа, оптическое поле приближается к линзе и затем фокусируется. Эффект линзы заключается в неравномерном изменении фазы, вызывающем фокусировку. Это изменение фазы является функцией пространства и может быть представлено как $\varphi (x)$, форма которого примерно представлена ​​на рисунке.

Изменение фазы можно выразить как произведение фазовой постоянной и ширины пути, пройденного полем. Мы можем написать это как:

$\varphi (x)=k_{0}nL(x)$

где $L(x)$ — ширина линзы, изменяющаяся в каждой точке по форме, одинаковой с $\varphi (x)$ потому что $k_{0}$ и n — константы. Другими словами, чтобы получить эффект фокусировки, нам достаточно ввести изменение фазы такой формы, но мы не обязаны менять ширину. Если оставить ширину L фиксированной в каждой точке, но изменить значение показателя преломления $n(x)$ мы получим точно такой же эффект, но совершенно с другим подходом.

Это находит применение в волокнах с градиентным показателем преломления : изменение показателя преломления создает эффект фокусировки, который может сбалансировать естественную дифракцию поля. Если эти два эффекта идеально уравновешивают друг друга, то мы имеем ограниченное поле, распространяющееся внутри волокна.

Пространственные солитоны основаны на том же принципе: эффект Керра вводит автофазовую модуляцию , которая изменяет показатель преломления в зависимости от интенсивности:

$\varphi (x)=k_{0}n(x)L=k_{0}L[n+n_{2}I(x)]$

если $I(x)$ имеет форму, похожую на показанную на рисунке, то мы создали желаемое фазовое поведение, и поле проявит эффект самофокусировки. Другими словами, при распространении поле создает волокнообразную направляющую структуру. Если поле создает волокно и одновременно является модой такого волокна, то это означает, что фокусирующие нелинейные и дифракционные линейные эффекты идеально сбалансированы и поле будет распространяться вечно, не меняя своей формы (пока среда не меняет своей формы). не изменится, и, очевидно, если мы сможем пренебречь потерями). Чтобы добиться эффекта самофокусировки, мы должны иметь позитивный настрой. $n_{2}$, иначе мы получим противоположный эффект и не заметим никакого нелинейного поведения.

Оптический волновод, который создает солитон при распространении, является не только математической моделью, он действительно существует и может использоваться для направления других волн на разных частотах. . Таким образом, можно позволить свету взаимодействовать со светом на разных частотах (это невозможно в линейных средах).

Доказательство

Электрическое поле распространяется в среде, проявляющей оптический эффект Керра , поэтому показатель преломления определяется выражением:

$n(I)=n+n_{2}I$

Напомним, что связь между освещенностью и электрическим полем имеет вид (в комплексном представлении)

$I={\frac {|E|^{2}}{2\eta }}$

где $\eta =\eta _{0}/n$ и $\eta _{0}$ сопротивление свободного пространства , определяемое формулой

$\eta _{0}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}\approx 377{\text{ }}\Omega .$

Поле распространяется в $z$ направление с фазовой постоянной $k_{0}n$. Сейчас мы будем игнорировать любую зависимость от оси y , предполагая, что она бесконечна в этом направлении. Тогда поле можно выразить как:

$E(x,z,t)=A_{m}a(x,z)e^{i(k_{0}nz-\omega t)}$

где $A_{m}$ – максимальная амплитуда поля и $a(x,z)$ представляет собой безразмерную нормализованную функцию (так что ее максимальное значение равно 1), которая представляет форму электрического поля по оси x . В общем случае это зависит от z , поскольку поля при распространении меняют свою форму.Теперь нам нужно решить уравнение Гельмгольца :

$\nabla ^{2}E+k_{0}^{2}n^{2}(I)E=0$

где было четко указано, что показатель преломления (следовательно, фазовая постоянная) зависит от интенсивности. Если заменить выражение электрического поля в уравнении, полагая, что огибающая $a(x,z)$ медленно меняется при распространении, т.е.

$\left|{\frac {\partial ^{2}a(x,z)}{\partial z^{2}}}\right|\ll \left|k_{0}{\frac {\partial a(x,z)}{\partial z}}\right|$

уравнение становится:

${\frac {\partial ^{2}a}{\partial x^{2}}}+i2k_{0}n{\frac {\partial a}{\partial z}}+k_{0}^{2}\left[n^{2}(I)-n^{2}\right]a=0.$

Введем приближение, которое справедливо, поскольку нелинейные эффекты всегда намного меньше линейных:

$\left[n^{2}(I)-n^{2}\right]=[n(I)-n][n(I)+n]=n_{2}I(2n+n_{2}I)\approx 2nn_{2}I$

теперь выразим напряженность через электрическое поле:

$\left[n^{2}(I)-n^{2}\right]\approx 2nn_{2}{\frac {|A_{m}|^{2}|a(x,z)|^{2}}{2\eta _{0}/n}}=n^{2}n_{2}{\frac {|A_{m}|^{2}|a(x,z)|^{2}}{\eta _{0}}}$

уравнение становится:

${\frac {1}{2k_{0}n}}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x^{2}}}+i{\frac {\partial a}{\partial z}}+{\frac {k_{0}nn_{2}|A_{m}|^{2}}{2\eta _{0}}}|a|^{2}a=0.$

Теперь мы будем предполагать $n_{2}>0$ так что нелинейный эффект вызовет самофокусировку. Чтобы это было очевидно, запишем в уравнение $n_{2}=|n_{2}|$Давайте теперь определим некоторые параметры и заменим их в уравнении:

• $\xi ={\frac {x}{X_{0}}}$, поэтому мы можем выразить зависимость от оси x безразмерным параметром; $X_{0}$ — длина, физический смысл которой станет более ясен позже.
• $L_{d}=X_{0}^{2}k_{0}n$, после того как электрическое поле распространилось по z на эту длину, линейными эффектами дифракции больше нельзя пренебрегать.
• $\zeta ={\frac {z}{L_{d}}}$, для изучения z -зависимости с безразмерной переменной.
• $L_{n\ell }={\frac {2\eta _{0}}{k_{0}n|n_{2}|\cdot |A_{m}|^{2}}}$, после того как электрическое поле распространилось по оси z на эту длину, нелинейными эффектами уже нельзя пренебрегать. Этот параметр зависит от напряженности электрического поля, что характерно для нелинейных параметров.
• $N^{2}={\frac {L_{d}}{L_{n\ell }}}$

Уравнение становится:

${\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial \xi ^{2}}}+i{\frac {\partial a}{\partial \zeta }}+N^{2}|a|^{2}a=0$

это обычное уравнение, известное как нелинейное уравнение Шредингера . Из этой формы мы можем понять физический смысл параметра N :

• если $N\ll 1$, то можно пренебречь нелинейной частью уравнения. Это означает $L_{d}\ll L_{n\ell }$, то на поле будет воздействовать линейный эффект (дифракция) намного раньше, чем нелинейный эффект, оно будет просто дифрагировать без какого-либо нелинейного поведения.
• если $N\gg 1$, то нелинейный эффект будет более выражен, чем дифракция, и из-за фазовой автомодуляции поле будет стремиться к фокусировке.
• если $N\approx 1$, то два эффекта уравновешивают друг друга, и нам нужно решить уравнение.

Для $N=1$ Решение уравнения простое и представляет собой фундаментальный солитон:

$a(\xi ,\zeta )=\operatorname {sech} (\xi )e^{i\zeta /2}$

где sech — гиперболический секанс . Оно по-прежнему зависит от z , но только по фазе, поэтому форма поля не изменится при распространении.

Для $N=2$ еще можно выразить решение в замкнутой форме, но оно имеет более сложный вид:

$a(\xi ,\zeta )={\frac {4[\cosh(3\xi )+3e^{4i\zeta }\cosh(\xi )]e^{i\zeta /2}}{\cosh(4\xi )+4\cosh(2\xi )+3\cos(4\zeta )}}.$

Он меняет свою форму во время распространения, но является периодической функцией z с периодом $\zeta =\pi /2$.

Форма солитона при распространении с N = 1 он не меняет своей формы

Форма солитона при распространении с N = 2 он периодически меняет свою форму

Для солитонных решений N должно быть целым числом и называется порядком или солитоном. Для $N=3$ существует также точное решение в замкнутой форме; оно имеет еще более сложную форму, но имеет место та же периодичность. Действительно, все солитоны с $N\geq 2$ есть период $\zeta =\pi /2$. Их форму легко выразить только сразу после генерации:

$a(\xi ,\zeta =0)=N\operatorname {sech} (\xi )$

справа - график солитона второго порядка: вначале он имеет форму сеча, затем максимальная амплитуда увеличивается и затем возвращается к форме сеча. Поскольку для генерации солитонов необходима высокая интенсивность, если поле увеличит свою интенсивность еще больше, среда может быть повреждена.

Условие, которое необходимо решить, если мы хотим сгенерировать фундаментальный солитон, получается, выражая N через все известные параметры, а затем полагая $N=1$:

$1=N={\frac {L_{d}}{L_{n\ell }}}={\frac {X_{0}^{2}k_{0}^{2}n^{2}|n_{2}||A_{m}|^{2}}{2\eta _{0}}}$

что с точки зрения максимального значения освещенности становится:

$I_{\max }={\frac {|A_{m}|^{2}}{2\eta _{0}/n}}={\frac {1}{X_{0}^{2}k_{0}^{2}n|n_{2}|}}.$

В большинстве случаев две переменные, которые можно изменить, — это максимальная интенсивность. $I_{\max }$ и ширина импульса $X_{0}$.

Распространение различных оптических солитонов более высокого порядка (серия изображений: малая мощность (без солитона), затем n1–n7)

Любопытно, что солитоны более высокого порядка могут принимать сложную форму, прежде чем вернуться точно к своей первоначальной форме в конце периода солитона. На изображении различных солитонов показаны спектр (слева) и временная область (справа) на различных расстояниях распространения (вертикальная ось) в идеализированной нелинейной среде. Это показывает, как может вести себя лазерный импульс при движении в среде со свойствами, необходимыми для поддержания фундаментальных солитонов. На практике, чтобы достичь очень высокой пиковой интенсивности, необходимой для достижения нелинейных эффектов, лазерные импульсы могут быть подключены к оптическим волокнам, таким как фотонно-кристаллическое волокно, с сильно ограниченными распространяющимися модами. Эти волокна имеют более сложную дисперсию и другие характеристики, отличающиеся от параметров аналитического солитона.

Генерация пространственных солитонов

О первом эксперименте по пространственным оптическим солитонам сообщили в 1974 году Эшкин и Бьёркхольм. в камере, заполненной парами натрия. Затем эта область была вновь исследована в экспериментах в Лиможском университете. в жидком дисульфиде углерода и расширился в начале 90-х годов, когда впервые наблюдались солитоны в фоторефрактивных кристаллах, стекло, полупроводники и полимеры. За последние десятилетия были сделаны многочисленные открытия в различных материалах, для солитонов различной размерности, формы, спиралевидных, сталкивающихся, сливающихся, расщепляющихся, в однородных средах, периодических системах и волноводах. Пространственные солитоны также называют самозахватывающими оптическими пучками, и их формирование обычно также сопровождается самописным волноводом. В нематических жидких кристаллах Пространственные солитоны также называют нематиконами .

Солитоны синхронизации поперечных мод

Локализованные возбуждения в лазерах могут возникать за счет синхронизации поперечных мод.

конфокальный $2F$ лазерный резонатор с нелинейным усилением и срезами поглотителя в Фурье-сопряженных плоскостях

В конфокальном $2F$ лазерный резонатор, вырожденные поперечные моды с единственной продольной модой на длине волны $\lambda$ смешанный в диске с нелинейным усилением $G$ (расположен по адресу $z=0$) и насыщающийся поглощающий диск $\alpha$ (расположен по адресу $z=2F$) диаметра $D$ способны создавать пространственные солитоны гиперболического типа. $\operatorname {sech}$ форма:

${\begin{aligned}E(x,z=0)&\sim \operatorname {sech} \left(\!{\frac {\pi xD}{2\lambda F}}{\sqrt {\frac {1-\alpha G}{G}}}\,\right)\\[3pt]E(x,z=2F)&\sim \operatorname {sech} \left(\!{\frac {2\pi x}{D}}{\sqrt {\frac {G}{1-\alpha G}}}\,\right)\end{aligned}}$

в Фурье-сопряженных плоскостях $z=0$ и $z=2F$.

Временные солитоны

Основной проблемой, ограничивающей скорость передачи данных в оптических волокнах, является дисперсия групповой скорости . Это связано с тем, что генерируемые импульсы имеют ненулевую полосу пропускания , а среда, через которую они распространяются, имеет показатель преломления, который зависит от частоты (или длины волны ). Этот эффект представлен параметром дисперсии групповой задержки D ; с его помощью можно точно рассчитать, насколько уширится пульс:

$\Delta \tau \approx DL\,\Delta \lambda$

где L — длина волокна и $\Delta \lambda$ это полоса пропускания в единицах длины волны. В современных системах связи подход заключается в том, чтобы сбалансировать такую ​​дисперсию с другими волокнами, имеющими D с разными знаками в разных частях волокна: таким образом, импульсы продолжают расширяться и сжиматься во время распространения. С помощью временных солитонов можно полностью устранить такую ​​проблему.

Линейные и нелинейные эффекты на гауссовских импульсах

Рассмотрите картинку справа. Слева — стандартный гауссов импульс — это огибающая поля, колеблющаяся с определенной частотой. Мы предполагаем, что частота остается совершенно постоянной в течение импульса.

Теперь позволим этому импульсу распространиться по волокну с $D>0$, на него будет влиять дисперсия групповой скорости. Для этого знака D дисперсия является аномальной , так что компоненты более высоких частот будут распространяться немного быстрее, чем компоненты более низких частот, таким образом достигая конца волокна раньше. Общий сигнал, который мы получаем, представляет собой более широкий чирпированный импульс, показанный в правом верхнем углу изображения.

влияние фазовой самомодуляции на частоту

Теперь предположим, что у нас есть среда, которая демонстрирует только нелинейный эффект Керра , но ее показатель преломления не зависит от частоты: такой среды не существует, но ее стоит рассмотреть, чтобы понять различные эффекты.

Фаза поля определяется как:

$\varphi (t)=\omega _{0}t-kz=\omega _{0}t-k_{0}z[n+n_{2}I(t)]$

частота (согласно ее определению) определяется выражением:

$\omega (t)={\frac {\partial \varphi (t)}{\partial t}}=\omega _{0}-k_{0}zn_{2}{\frac {\partial I(t)}{\partial t}}$

эта ситуация представлена ​​на рисунке слева. В начале импульса частота ниже, в конце выше. После распространения через нашу идеальную среду мы получим чирпированный импульс без уширения, поскольку мы пренебрегли дисперсией.

Возвращаясь к первой картинке, мы видим, что эти два эффекта приводят к изменению частоты в двух разных противоположных направлениях. Можно сделать импульс так, чтобы два эффекта уравновешивали друг друга. Что касается более высоких частот, линейная дисперсия будет способствовать их более быстрому распространению, а нелинейный эффект Керра будет замедлять их. Общий эффект будет заключаться в том, что импульс не изменяется при распространении: такие импульсы называются временными солитонами.

История временных солитонов

В 1973 году Акира Хасегава и Фред Тапперт из AT&T Bell Labs первыми предположили, что солитоны могут существовать в оптических волокнах благодаря балансу между автофазовой модуляцией и аномальной дисперсией . Также в 1973 году Робин Буллоу сделал первое математическое сообщение о существовании оптических солитонов. Он также предложил идею системы передачи на основе солитонов для повышения производительности оптических телекоммуникаций .

Солитоны в волоконно-оптической системе описываются уравнениями Манакова .

В 1987 году П. Эмплит, Дж. П. Хамайд, Ф. Рейно, К. Фрели и А. Бартелеми из университетов Брюсселя и Лиможа сделали первое экспериментальное наблюдение распространения темного солитона в оптическом волокне.

В 1988 году Линн Молленауэр и его команда передали солитонные импульсы на расстояние более 4000 километров, используя явление, называемое эффектом Рамана , названным в честь индийского ученого сэра К.В. Рамана , который впервые описал его в 1920-х годах, чтобы обеспечить оптическое усиление волокна.

В 1991 году исследовательская группа Bell Labs безошибочно передала солитоны на скорости 2,5 гигабит на расстояние более 14 000 километров, используя эрбиевые оптоволоконные усилители (сращенные сегменты оптического волокна, содержащие редкоземельный элемент эрбий). Лазеры накачки, соединенные с оптическими усилителями, активируют эрбий, который заряжает световые импульсы. .

В 1998 году Тьерри Жорж и его команда в France Télécom научно-исследовательском центре , объединив оптические солитоны разных длин волн ( мультиплексирование с разделением по длине волны ), продемонстрировали передачу данных со скоростью 1 терабит в секунду (1 000 000 000 000 единиц информации в секунду). .

В 2020 году компания Optics Communications сообщила японской команде из MEXT о коммутации оптических цепей с пропускной способностью до 90 Тбит/с (терабит в секунду), Optics Communications, Volume 466, 1 июля 2020 г., 125677.

Доказательство временных солитонов

Электрическое поле распространяется в среде, демонстрируя оптический эффект Керра через направляющую структуру (например, оптическое волокно ), которая ограничивает мощность в плоскости xy . Если поле распространяется в направлении z с фазовой постоянной $\beta _{0}$, то его можно выразить в следующем виде:

$E(\mathbf {r} ,t)=A_{m}a(t,z)f(x,y)e^{i(\beta _{0}z-\omega _{0}t)}$

где $A_{m}$ – максимальная амплитуда поля, $a(t,z)$ — огибающая, формирующая импульс во временной области; вообще говоря, это зависит от z , поскольку импульс при распространении может менять свою форму; $f(x,y)$ представляет собой форму поля в плоскости xy и не меняется во время распространения, поскольку мы предположили, что поле является направленным. И a, и f являются нормализованными безразмерными функциями, максимальное значение которых равно 1, так что $A_{m}$ действительно представляет собой амплитуду поля.

Поскольку в среде существует дисперсия, которой нельзя пренебречь, связь между электрическим полем и его поляризацией определяется интегралом свертки . В любом случае, используя представление в области Фурье , мы можем заменить свертку простым произведением, используя таким образом стандартные соотношения, действительные в более простых средах. Мы преобразуем Фурье электрическое поле, используя следующее определение:

${\tilde {E}}(\mathbf {r} ,\omega -\omega _{0})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }E(\mathbf {r} ,t)e^{-i(\omega -\omega _{0})t}\,dt$

Используя это определение, производная во временной области соответствует произведению в области Фурье:

${\frac {\partial }{\partial t}}E\Longleftrightarrow i(\omega -\omega _{0}){\tilde {E}}$

полное выражение поля в частотной области:

${\tilde {E}}(\mathbf {r} ,\omega -\omega _{0})=A_{m}{\tilde {a}}(\omega ,z)f(x,y)e^{i\beta _{0}z}$

Теперь мы можем решить уравнение Гельмгольца в частотной области:

$\nabla ^{2}{\tilde {E}}+n^{2}(\omega )k_{0}^{2}{\tilde {E}}=0$

мы решили выразить фазовую постоянную следующими обозначениями:

${\begin{aligned}n(\omega )k_{0}=\beta (\omega )&=\overbrace {\beta _{0}} ^{\text{linear non-dispersive}}+\overbrace {\beta _{\ell }(\omega )} ^{\text{linear dispersive}}+\overbrace {\beta _{n\ell }} ^{\text{non-linear}}\\[8pt]&=\beta _{0}+\Delta \beta (\omega )\end{aligned}}$

где мы предполагаем, что $\Delta \beta$ (сумма линейно-дисперсионной составляющей и нелинейной части) представляет собой малое возмущение, т.е. $|\beta _{0}|\gg |\Delta \beta (\omega )|$. Фазовая постоянная может иметь любое сложное поведение, но мы можем представить ее в виде ряда Тейлора с центром в $\omega _{0}$:

$\beta (\omega )\approx \beta _{0}+(\omega -\omega _{0})\beta _{1}+{\frac {(\omega -\omega _{0})^{2}}{2}}\beta _{2}+\beta _{n\ell }$

где, как известно:

$\beta _{u}=\left.{\frac {d^{u}\beta (\omega )}{d\omega ^{u}}}\right|_{\omega =\omega _{0}}$

подставим выражение электрического поля в уравнение и проведем некоторые расчеты. Если мы предположим медленно меняющуюся аппроксимацию конверта :

$\left|{\frac {\partial ^{2}{\tilde {a}}}{\partial z^{2}}}\right|\ll \left|\beta _{0}{\frac {\partial {\tilde {a}}}{\partial z}}\right|$

мы получаем:

$2i\beta _{0}{\frac {\partial {\tilde {a}}}{\partial z}}+[\beta ^{2}(\omega )-\beta _{0}^{2}]{\tilde {a}}=0$

мы игнорируем поведение в плоскости xy , поскольку оно уже известно и задано формулой $f(x,y)$.Сделаем небольшое приближение, как мы это сделали для пространственного солитона:

${\begin{aligned}\beta ^{2}(\omega )-\beta _{0}^{2}&=[\beta (\omega )-\beta _{0}][\beta (\omega )+\beta _{0}]\\[6pt]&=[\beta _{0}+\Delta \beta (\omega )-\beta _{0}][2\beta _{0}+\Delta \beta (\omega )]\approx 2\beta _{0}\,\Delta \beta (\omega )\end{aligned}}$

заменив это в уравнении, мы получим просто:

$i{\frac {\partial {\tilde {a}}}{\partial z}}+\Delta \beta (\omega ){\tilde {a}}=0$.

Теперь мы хотим вернуться во временную область. Выразив произведения через производные, получим двойственность:

$\Delta \beta (\omega )\Longleftrightarrow i\beta _{1}{\frac {\partial }{\partial t}}-{\frac {\beta _{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+\beta _{n\ell }$

мы можем записать нелинейную составляющую через интенсивность излучения или амплитуду поля:

$\beta _{n\ell }=k_{0}n_{2}I=k_{0}n_{2}{\frac {|E|^{2}}{2\eta _{0}/n}}=k_{0}n_{2}n{\frac {|A_{m}|^{2}}{2\eta _{0}}}|a|^{2}$

для двойственности с пространственным солитоном определим:

$L_{n\ell }={\frac {2\eta _{0}}{k_{0}nn_{2}|A_{m}|^{2}}}$

и этот символ имеет то же значение, что и предыдущий случай, даже если контекст иной. Уравнение становится:

$i{\frac {\partial a}{\partial z}}+i\beta _{1}{\frac {\partial a}{\partial t}}-{\frac {\beta _{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial t^{2}}}+{\frac {1}{L_{n\ell }}}|a|^{2}a=0$

Мы знаем, что импульс распространяется вдоль оси z с групповой скоростью , определяемой выражением $v_{g}=1/\beta _{1}$, поэтому нас это не интересует, поскольку мы просто хотим знать, как импульс меняет свою форму при распространении. Мы решили изучить форму импульса, т. е. огибающую функцию a (·), используя эталон, движущийся вместе с полем с той же скоростью. Таким образом, мы делаем замену

$T=t-\beta _{1}z$

и уравнение становится:

$i{\frac {\partial a}{\partial z}}-{\frac {\beta _{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial T^{2}}}+{\frac {1}{L_{n\ell }}}|a|^{2}a=0$

Далее мы предполагаем, что среда, в которой распространяется поле, обладает аномальной дисперсией , т.е. $\beta _{2}<0$ или через параметр дисперсии групповой задержки $D={\frac {-2\pi c}{\lambda ^{2}}}\beta _{2}>0$. Сделаем это более очевидным заменой в уравнении $\beta _{2}=-|\beta _{2}|$. Определим теперь следующие параметры (двойственность с предыдущим случаем очевидна):

$L_{d}={\frac {T_{0}^{2}}{|\beta _{2}|}};\qquad \tau ={\frac {T}{T_{0}}};\qquad \zeta ={\frac {z}{L_{d}}};\qquad N^{2}={\frac {L_{d}}{L_{n\ell }}}$

заменив их в уравнении, получим:

${\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial \tau ^{2}}}+i{\frac {\partial a}{\partial \zeta }}+N^{2}|a|^{2}a=0$

это точно то же самое уравнение, которое мы получили в предыдущем случае. Солитон первого порядка имеет вид:

$a(\tau ,\zeta )=\operatorname {sech} (\tau )e^{i\zeta /2}$

в этом случае справедливы те же соображения, которые мы сделали. Условие N = 1 становится условием на амплитуду электрического поля:

$|A_{m}|^{2}={\frac {2\eta _{0}|\beta _{2}|}{T_{0}^{2}n_{2}k_{0}n}}$

или, с точки зрения освещенности:

$I_{\max }={\frac {|A_{m}|^{2}}{2\eta _{0}/n}}={\frac {|\beta _{2}|}{T_{0}^{2}n_{2}k_{0}}}$

или мы можем выразить это через мощность, если введем эффективную площадь $A_{\text{eff}}$ определено так, что $P=IA_{\text{eff}}$:

$P={\frac {|\beta _{2}|A_{\text{eff}}}{T_{0}^{2}n_{2}k_{0}}}$

Устойчивость солитонов

Мы описали, что такое оптические солитоны, и, используя математику, увидели, что, если мы хотим их создать, нам нужно создать поле определенной формы (просто выбрать первый порядок) с определенной мощностью, связанной с длительностью импульса. Но что, если мы немного ошибаемся в создании таких импульсов? Добавляя в уравнения малые возмущения и решая их численно, можно показать, что одномерные солитоны устойчивы. Их часто называют (1 + 1) D- солитонами , что означает, что они ограничены в одном измерении ( x или t , как мы видели) и распространяются в другом ( z ).

Если мы создадим такой солитон, используя немного неправильную мощность или форму, то он будет корректироваться до тех пор, пока не достигнет стандартной формы с правильной степенью. К сожалению, это достигается за счет некоторой потери мощности, что может вызвать проблемы, поскольку может генерировать другое несолитонное поле, распространяющееся вместе с нужным нам полем. Одномерные солитоны очень устойчивы: например, если $0.5<N<1.5$ мы в любом случае сгенерируем солитон первого порядка; если N больше, мы сгенерируем солитон более высокого порядка, но фокусировка, которую он производит во время распространения, может вызвать пики высокой мощности, повреждающие носитель.

Единственный способ создать пространственный солитон (1 + 1) D — это ограничить поле по оси y с помощью диэлектрической пластины , а затем ограничить поле по оси x с помощью солитона.

С другой стороны, (2 + 1) D пространственные солитоны неустойчивы, поэтому любое небольшое возмущение (например, из-за шума) может привести к дифракции солитона как поля в линейной среде или к коллапсу, тем самым повреждая материал. пространственные солитоны можно Создать устойчивые (2 + 1) D с помощью насыщающих нелинейных сред, где соотношение Керра $n(I)=n+n_{2}I$ действует до тех пор, пока не достигнет максимального значения. Работа вблизи этого уровня насыщения позволяет создать устойчивый солитон в трехмерном пространстве.

Если мы рассмотрим распространение более коротких (временных) световых импульсов или на большее расстояние, нам необходимо учитывать поправки более высокого порядка ипоэтому огибающая несущей импульса определяется нелинейным уравнением Шредингера высшего порядка (HONSE), для которого существуют некоторые специализированные (аналитические) солитонные решения.

Влияние потерь мощности

Как мы видели, для создания солитона необходимо иметь правильную мощность при его генерации. Если потерь в среде нет, то мы знаем, что солитон будет распространяться вечно, не меняя формы (1-й порядок) или периодически меняя свою форму (высшие порядки). К сожалению, любая среда несет потери, поэтому фактическое поведение мощности будет иметь вид:

$P(z)=P_{0}e^{-\alpha z}$

это серьезная проблема для временных солитонов, распространяющихся по волокнам на несколько километров. Рассмотрим, что происходит с временным солитоном, обобщение на пространственные происходит немедленно. Мы доказали, что отношения между властью $P_{0}$ и длина импульса $T_{0}$ является:

$P={\frac {|\beta _{2}|A_{\text{eff}}}{T_{0}^{2}n_{2}k_{0}}}$

если власть поменяется, единственное, что может измениться во второй части отношений, это $T_{0}$. если прибавить потери к мощности и решить соотношение в терминах $T_{0}$ мы получаем:

$T(z)=T_{0}e^{(\alpha /2)z}$

ширина импульса растет экспоненциально, чтобы уравновесить потери! это соотношение верно до тех пор, пока существует солитон, т. е. до тех пор, пока это возмущение не станет малым, поэтому оно должно быть $\alpha z\ll 1$ в противном случае мы не сможем использовать уравнения для солитонов и нам придется изучать стандартную линейную дисперсию. Если мы хотим создать систему передачи с использованием оптических волокон и солитонов, нам необходимо добавить оптические усилители , чтобы ограничить потери мощности.

Генерация солитонного импульса

Были проведены эксперименты по анализу влияния высокочастотного (20 МГц-1 ГГц) внешнего магнитного поля, индуцированного нелинейным эффектом Керра, на одномодовое оптическое волокно значительной длины (50–100 м) для компенсации дисперсии групповой скорости (ДГС) и последующих эволюция солитонного импульса (пиковая энергия, узкий, секущий гиперболический импульс ). Генерация солитонного импульса в волокне является очевидным выводом как фазовая автомодуляция из-за высокой энергии смещения ДГС импульса, тогда как длина эволюции составляет 2000 км. (длина волны лазера выбрана больше 1,3 микрометра). Более того, пиковый солитонный импульс имеет период 1–3 пс, что позволяет ему надежно размещаться в оптической полосе пропускания. После генерации солитонного импульса он меньше всего рассеивается по оптоволокну длиной в тысячи километров, что ограничивает количество ретрансляционных станций.

Темные солитоны

При анализе обоих типов солитонов мы предполагали особые условия относительно среды:

• в пространственных солитонах, $n_{2}>0$, то есть фазовая автомодуляция вызывает самофокусировку
• во временных солитонах, $\beta _{2}<0$ или $D>0$, аномальная дисперсия

Можно ли получить солитоны, если эти условия не проверены? если мы предположим $n_{2}<0$ или $\beta _{2}>0$, получим следующее дифференциальное уравнение (оно в обоих случаях имеет один и тот же вид, будем использовать только обозначение временного солитона):

${\frac {-1}{2}}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial \tau ^{2}}}+i{\frac {\partial a}{\partial \zeta }}+N^{2}|a|^{2}a=0.$

Это уравнение имеет решения типа солитонов. Для первого порядка ( N = 1):

$a(\tau ,\zeta )=\tanh(\tau )e^{i\zeta }.\$

мощность темного солитона

Сюжет $|a(\tau ,\zeta )|^{2}$ показано на рисунке справа. Для солитонов более высокого порядка ( $N>1$) мы можем использовать следующее выражение закрытой формы:

$a(\tau ,\zeta =0)=N\tanh(\tau ).\$

Это солитон в том смысле, что он распространяется, не меняя своей формы, но не создается обычным импульсом; скорее, это недостаток энергии в непрерывном луче времени. Интенсивность постоянна, но на короткое время, в течение которого она скачет до нуля и обратно, создавая тем самым «темный импульс». Эти солитоны на самом деле можно генерировать, добавляя короткие темные импульсы к гораздо более длинным стандартным импульсам. С темными солитонами сложнее обращаться, чем со стандартными солитонами, но они оказались более стабильными и устойчивыми к потерям.

См. также

• Солитон
• Самофазовая модуляция
• Оптический эффект Керра
• векторный солитон
• нематикон
• Ультракороткий импульс

Библиография

• Салех, BEA; Тейх, MC (1991). Основы фотоники . Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. ISBN  978-0-471-83965-1 .
• Агравал, Говинд П. (1995). Нелинейная волоконная оптика (2-е изд.). Сан-Диего (Калифорния): Academic Press. ISBN  978-0-12-045142-5 .

Внешние ссылки

• Распространение солитона в SMF-28 с помощью графического процессора.