Система Манакова

Уравнения Максвелла при преобразовании в цилиндрические координаты и с учетом граничных условий для оптического волокна с учетом двулучепреломления как эффекта дают связанные нелинейные уравнения Шредингера . После применения преобразования обратного рассеяния (процедуры, аналогичной преобразованию Фурье и преобразованию Лапласа ) к полученным уравнениям получается система Манакова. Наиболее общий вид системы Манакова следующий:

$v_{1}'=-i\,\xi \,v_{1}+q_{1}\,v_{2}+q_{2}\,v_{3}$

$v_{2}'=-q_{1}^{*}\,v_{1}+i\,\xi \,v_{2}$

$v_{3}'=-q_{2}^{*}\,v_{1}+i\,\xi \,v_{3}.$

Это связанная система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений . Функции $q_{1},q_{2}$ представляют огибающую электромагнитного поля как начальное состояние.

Для теоретических целей версия интегрального уравнения часто бывает очень полезна. Это происходит следующим образом:

$\lim _{x\to a}e^{i\xi x}v_{1}-\lim _{x\to b}e^{i\xi x}v_{1}=\int _{a}^{b}[e^{i\xi x}\,q_{1}\,v_{2}+e^{i\xi x}\,q_{2}\,v_{3}]\,dx$

$\lim _{x\to a}e^{-i\xi x}v_{2}-\lim _{x\to b}e^{-i\xi x}v_{2}=-\int _{a}^{b}e^{-i\xi x}\,q_{1}^{*}\,v_{1}\,dx$

$\lim _{x\to a}e^{-i\xi x}v_{3}-\lim _{x\to b}e^{-i\xi x}v_{3}=-\int _{a}^{b}e^{-i\xi x}\,q_{2}^{*}\,v_{1}\,dx$

Можно делать дальнейшие замены и упрощения в зависимости от используемых пределов и предположений о граничных или начальных условиях. Одна важная концепция заключается в том, что $\xi$ является сложным; необходимо сделать предположения об этом параметре собственного значения . Если требуется ненулевое решение, мнимая часть собственного значения не может изменить знак ; соответственно, большинство исследователей считают мнимую часть положительной .

Ссылки

• Менюк, ЧР (1999). «Применение методов множественной длины для исследования передачи по оптоволоконному кабелю». Журнал инженерной математики . 36 (1/2). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 113–136. дои : 10.1023/а:1017255407404 . ISSN   0022-0833 . S2CID   9930111 .
• Кауп, диджей; Маломед, бакалавр искусств (1 июля 1993 г.). «Солитонный захват и дочерние волны в модели Манакова». Физический обзор А. 48 (1). Американское физическое общество (APS): 599–604. Бибкод : 1993PhRvA..48..599K . дои : 10.1103/physreva.48.599 . ISSN   1050-2947 . ПМИД   9909633 .
• Манаков, С.В. (1976). «[Замечания об интегралах уравнений Эйлера n-мерного тяжелого волчка]». Функциональный анализ и его приложения . 10 (4): 93–94. ISSN   0374-1990 .