Приближение Буссинеска (волны на воде)

Эта статья посвящена приближению Буссинеска для волн на свободно движущейся поверхности жидкости. Чтобы узнать о других значениях, см. Приближение Буссинеска .

Моделирование периодических волн на подводной отмели с помощью модели Буссинеска. Волны распространяются по подводной отмели эллиптической формы на плоском пляже. Этот пример сочетает в себе несколько эффектов волн и мелкой воды , включая преломление , дифракцию , обмеление и слабую нелинейность .

В гидродинамике для приближение Буссинеска волн на воде является приближением, справедливым для слабо нелинейных и довольно длинных волн . Приближение названо в честь Джозефа Буссинеска , который первым вывел их в ответ на наблюдение Джона Скотта Рассела волны перевода (также известной как уединенная волна или солитон ). В статье Буссинеска 1872 года вводятся уравнения, ныне известные как уравнения Буссинеска .

Приближение Буссинеска для волн на воде учитывает вертикальную структуру скорости горизонтального и вертикального течения . Это приводит к нелинейным уравнениям в частных производных , называемым уравнениями типа Буссинеска , которые включают частотную дисперсию (в отличие от уравнений мелкой воды , которые не являются частотно-дисперсионными). В прибрежной инженерии уравнения типа Буссинеска часто используются в моделях для моделирования волн в на мелководье . и гаванях компьютерных

Хотя приближение Буссинеска применимо к довольно длинным волнам, то есть когда длина волны велика по сравнению с глубиной воды, разложение Стокса больше подходит для коротких волн (когда длина волны того же порядка, что и глубина воды, или короче). ).

Приближение Буссинеска

Периодические волны в приближении Буссинеска показаны в вертикальном сечении по направлению распространения волны . Обратите внимание на плоские впадины и острые гребни из-за нелинейности волны. Этот случай (нарисованный в масштабе ) показывает волну с длиной волны, равной 39,1 м , высотой волны 1,8 м ( т.е. разница между высотой гребня и впадины), а средняя глубина воды составляет 5 м, а ускорение свободного падения составляет 9,81. РС ² .

Существенной идеей приближения Буссинеска является исключение вертикальной координаты из уравнений течения при сохранении некоторых влияний вертикальной структуры течения под водными волнами . Это полезно, поскольку волны распространяются в горизонтальной плоскости и имеют другое (не волнообразное) поведение в вертикальном направлении. Часто, как в случае с Буссинеском, интерес представляет прежде всего распространение волн.

Это исключение вертикальной координаты было впервые сделано Жозефом Буссинеском в 1871 году, чтобы построить приближенное решение для уединенной волны (или волны поступательного движения ). Впоследствии, в 1872 году, Буссинеск вывел уравнения, известные ныне как уравнения Буссинеска.

Шаги в приближении Буссинеска:

• расширение Тейлора состоит из горизонтальной и вертикальной скорости потока (или потенциала скорости ) вокруг определенной высоты ,
• это разложение Тейлора усекается до конечного числа членов,
• сохранение массы (см. уравнение неразрывности ) для несжимаемого потока и условие нулевого ротора для безвихревого потока используются для замены вертикальных частных производных величин в разложении Тейлора горизонтальными частными производными .

После этого к остальным уравнениям течения применяется приближение Буссинеска, чтобы исключить зависимость от вертикальной координаты.В результате полученные уравнения в частных производных выражаются в функциях горизонтальных координат (и времени ).

В качестве примера рассмотрим потенциальное течение над горизонтальным пластом в $(x,z)$ самолет, с $x$ горизонтальный и $z$ вертикальная координата . Кровать находится по адресу $z=-h$, где $h$ это средняя глубина воды. Разложение Тейлора состоит из потенциала скорости $\varphi (x,z,t)$ вокруг уровня кровати $z=-h$:

${\begin{aligned}\varphi \,=\,&\varphi _{b}\,+\,(z+h)\,\left[{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right]_{z=-h}\,+\,{\frac {1}{2}}\,(z+h)^{2}\,\left[{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}\right]_{z=-h}\,\\&+\,{\frac {1}{6}}\,(z+h)^{3}\,\left[{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial z^{3}}}\right]_{z=-h}\,+\,{\frac {1}{24}}\,(z+h)^{4}\,\left[{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial z^{4}}}\right]_{z=-h}\,+\,\cdots ,\end{aligned}}$

где $\varphi _{b}(x,t)$ – потенциал скорости в слое. Обращение к уравнению Лапласа для $\varphi$, справедливо для несжимаемого потока , дает:

${\begin{aligned}\varphi \,=\,&\left\{\,\varphi _{b}\,-\,{\frac {1}{2}}\,(z+h)^{2}\,{\frac {\partial ^{2}\varphi _{b}}{\partial x^{2}}}\,+\,{\frac {1}{24}}\,(z+h)^{4}\,{\frac {\partial ^{4}\varphi _{b}}{\partial x^{4}}}\,+\,\cdots \,\right\}\,\\&+\,\left\{\,(z+h)\,\left[{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right]_{z=-h}\,-\,{\frac {1}{6}}\,(z+h)^{3}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right]_{z=-h}\,+\,\cdots \,\right\}\\=\,&\left\{\,\varphi _{b}\,-\,{\frac {1}{2}}\,(z+h)^{2}\,{\frac {\partial ^{2}\varphi _{b}}{\partial x^{2}}}\,+\,{\frac {1}{24}}\,(z+h)^{4}\,{\frac {\partial ^{4}\varphi _{b}}{\partial x^{4}}}\,+\,\cdots \,\right\},\end{aligned}}$

поскольку вертикальная скорость $\partial \varphi /\partial z$ равен нулю в – непроницаемом – горизонтальном пласте $z=-h$. Впоследствии этот ряд может быть усечен до конечного числа членов.

Исходные уравнения Буссинеска

Вывод

Для волн воды на несжимаемой жидкости и безвихревого течения в $(x,z)$ плоскости, граничные условия на свободной поверхности возвышении $z=\eta (x,t)$ являются:

${\begin{aligned}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,&+\,u\,{\frac {\partial \eta }{\partial x}}\,-\,w\,=\,0\\{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\,&+\,{\frac {1}{2}}\,\left(u^{2}+w^{2}\right)\,+\,g\,\eta \,=\,0,\end{aligned}}$

где:

• $u$ – горизонтальная составляющая скорости потока : $u=\partial \varphi /\partial x$,
• $w$ – составляющая скорости вертикального потока : $w=\partial \varphi /\partial z$,
• $g$ это ускорение свободного падения .

Теперь приближение Буссинеска для потенциала скорости $\varphi$, как указано выше, применяется в этих граничных условиях . Далее, в полученных уравнениях только линейные и квадратичные по отношению к $\eta$ и $u_{b}$ сохраняются (с $u_{b}=\partial \varphi _{b}/\partial x$ горизонтальная скорость у пласта $z=-h$). Члены кубического и более высокого порядка считаются пренебрежимо малыми. следующие уравнения в частных производных Тогда получаются :

набор А – Буссинеск (1872 г.), уравнение (25)

${\begin{aligned}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,&+\,{\frac {\partial }{\partial x}}\,\left[\left(h+\eta \right)\,u_{b}\right]\,=\,{\frac {1}{6}}\,h^{3}\,{\frac {\partial ^{3}u_{b}}{\partial x^{3}}},\\{\frac {\partial u_{b}}{\partial t}}\,&+\,u_{b}\,{\frac {\partial u_{b}}{\partial x}}\,+\,g\,{\frac {\partial \eta }{\partial x}}\,=\,{\frac {1}{2}}\,h^{2}\,{\frac {\partial ^{3}u_{b}}{\partial t\,\partial x^{2}}}.\end{aligned}}$

Эта система уравнений была получена для плоского горизонтального дна, т.е. средней глубины $h$ является константой, не зависящей от положения $x$. Когда правые части приведенных выше уравнений равны нулю, они сводятся к уравнениям мелкой воды .

При некоторых дополнительных приближениях, но с тем же порядком точности, приведенный выше набор A можно свести к одному уравнению в частных производных для свободной поверхности . возвышения $\eta$:

набор B – Буссинеск (1872 г.), уравнение (26)

${\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial t^{2}}}\,-\,gh\,{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial x^{2}}}\,-\,gh\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left({\frac {3}{2}}\,{\frac {\eta ^{2}}{h}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,h^{2}\,{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial x^{2}}}\right)\,=\,0.$

Из членов в скобках важность нелинейности уравнения можно выразить через число Урселла .В безразмерных величинах , используя глубину воды $h$ и гравитационное ускорение $g$ для обезразмеривания это уравнение после нормализации выглядит следующим образом :

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \tau ^{2}}}\,-\,{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \xi ^{2}}}\,-\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{2}}}\left(\,3\,\psi ^{2}\,+\,{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \xi ^{2}}}\,\right)\,=\,0,$

с:

$\psi \,=\,{\frac {1}{2}}\,{\frac {\eta }{h}}$	: безразмерная высота поверхности,
$\tau \,=\,{\sqrt {3}}\,t\,{\sqrt {\frac {g}{h}}}$	: безразмерное время и
$\xi \,=\,{\sqrt {3}}\,{\frac {x}{h}}$	: безразмерное горизонтальное положение.

Линейная фазовая скорость в квадрате $c^{2}/(gh)$ как функция относительного волнового числа $kh$.
А = Буссинеск (1872 г.), уравнение (25),
B = Буссинеск (1872 г.), уравнение (26),
C = полная линейная теория волн, см. дисперсию (волны на воде)

Линейная частотная дисперсия

Водные волны разной длины движутся с разной фазовой скоростью – явление, известное как частотная дисперсия . Для случая бесконечно малой волны амплитуды используется термин « линейная частотная дисперсия» . Частотные дисперсионные характеристики уравнения типа Буссинеска можно использовать для определения диапазона длин волн, для которого оно является допустимым приближением .

Характеристики линейной частотной дисперсии для приведенного выше набора A : уравнений

$c^{2}\,=\;gh\,{\frac {1\,+\,{\frac {1}{6}}\,k^{2}h^{2}}{1\,+\,{\frac {1}{2}}\,k^{2}h^{2}}},$

с:

• $c$ фазовая скорость ,
• $k$ волновое число ( $k=2\pi /\lambda$, с $\lambda$ ) длина волны .

Относительная погрешность фазовой скорости $c$ для набора А по сравнению с линейной теорией волн на воде составляет менее 4% по относительному волновому числу $kh<\pi /2$. Итак, в инженерных приложениях набор A справедлив для длин волн $\lambda$ больше, чем в 4 раза превышает глубину воды $h$.

Характеристики линейной частотной дисперсии уравнения B :

$c^{2}\,=\,gh\,\left(1\,-\,{\frac {1}{3}}\,k^{2}h^{2}\right).$

Относительная погрешность фазовой скорости для уравнения Б составляет менее 4% для $kh<2\pi /7$, что эквивалентно длинам волн $\lambda$ более чем в 7 раз превышает глубину воды $h$, называемые довольно длинными волнами .

Для коротких волн с $k^{2}h^{2}>3$ уравнение B становится физически бессмысленным, поскольку больше нет вещественных решений фазовой скорости . Исходный набор двух уравнений в частных производных (Буссинеск, 1872, уравнение 25, см. набор А выше) не имеет этого недостатка.

Уравнения мелкой воды имеют относительную ошибку по фазовой скорости менее 4% для длин волн. $\lambda$ более чем в 13 раз превышает глубину воды $h$.

Уравнения и расширения типа Буссинеска

Существует огромное количество математических моделей , называемых уравнениями Буссинеска. Это легко может привести к путанице, поскольку часто их условно называют уравнениями Буссинеска, хотя на самом деле рассматривается их вариант. Поэтому их правильнее называть уравнениями типа Буссинеска . Строго говоря, уравнения Буссинеска — это упомянутый выше набор B , поскольку он используется при анализе в оставшейся части его статьи 1872 года.

Некоторые направления, в которых были распространены уравнения Буссинеска:

• различная батиметрия ,
• улучшенная частотная дисперсия ,
• улучшенное нелинейное поведение,
• делая разложение Тейлора вокруг различных вертикальных отметок ,
• разделение жидкой области на слои и применение приближения Буссинеска в каждом слое отдельно,
• включение обрушения волны ,
• включение поверхностного натяжения ,
• распространение на внутренние волны на границе раздела областей жидкости с различной массовой плотностью ,
• вывод из вариационного принципа .

Дальнейшие приближения для одностороннего распространения волн

Хотя уравнения Буссинеска допускают, что волны распространяются одновременно в противоположных направлениях, часто бывает выгодно рассматривать волны, распространяющиеся только в одном направлении. При небольших дополнительных предположениях уравнения Буссинеска сводятся к:

• уравнение Кортевега –де Фриза для распространения волн в одном горизонтальном измерении ,
• уравнение Кадомцева – Петвиашвили для (почти однонаправленного) распространения волн в двух горизонтальных измерениях ,
• нелинейное уравнение Шрёдингера (уравнение НУШ) для амплитуды узкополосных комплексной волн (медленно модулированных волн).

Помимо решений для уединенных волн, уравнение Кортевега – де Фриза также имеет периодические и точные решения, называемые кноидальными волнами . Это приближенные решения уравнения Буссинеска.

Численные модели

Моделирование прибрежных волн, движущихся к входу в гавань, с использованием волновой модели типа Буссинеска. Моделирование проводится с помощью модуля SMS BOUSS-2D .

Быстрее, чем моделирование в реальном времени с помощью модуля Boussinesq в Celeris, показывая разбиение и преломление волн возле пляжа. Модель обеспечивает интерактивную среду.

Для моделирования волнового движения вблизи побережий и гаваней существуют численные модели – как коммерческие, так и академические – с использованием уравнений типа Буссинеска. Некоторыми коммерческими примерами являются волновые модули типа Буссинеска в MIKE 21 и SMS . Некоторые из бесплатных моделей Boussinesq — Celeris, КУЛВЕЙВ, и ФАНВЕЙВ. В большинстве численных моделей конечных разностей , конечных объемов или конечных элементов используются методы для дискретизации уравнений модели . Научные обзоры и взаимные сравнения нескольких уравнений типа Буссинеска, их численная аппроксимация и характеристики приведены, например, в Kirby (2003) , Dingemans (1997 , часть 2, глава 5) и Hamm, Madsen & Peregrine (1993) .

Ссылки

• Буссинеск, Ж. (1871). «Теория вспучивания жидкости, называемой уединенной или поступательной волной, распространяющейся в прямоугольном канале» . Известия Академии наук . 72 :755–759.
• Буссинеск, Ж. (1872). «Теория волн и вихрей, распространяющихся по горизонтальному прямоугольному каналу, сообщающих жидкости, содержащейся в этом канале, практически одинаковые скорости от поверхности ко дну» . Журнал чистой и прикладной математики . Вторая серия. 17 :55–108.
• Дингеманс, М.В. (1997). Распространение волн по неровному дну . Расширенная серия по океанотехнике 13 . World Scientific, Сингапур. ISBN  978-981-02-0427-3 . Архивировано из оригинала 8 февраля 2012 г. Проверено 21 января 2008 г. См. Часть 2, Главу 5 .
• Хэмм, Л.; Мэдсен, Пенсильвания; Перегрин, Д.Х. (1993). «Волновая трансформация в прибрежной зоне: обзор». Береговая инженерия . 21 (1–3): 5–39. дои : 10.1016/0378-3839(93)90044-9 .
• Джонсон, Р.С. (1997). Современное введение в математическую теорию волн на воде . Кембриджские тексты по прикладной математике. Том. 19. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-59832-Х .
• Кирби, Джей Ти (2003). «Модели Буссинеска и их приложения к распространению прибрежных волн, процессам в зоне прибоя и течениям, индуцированным волнами». В Лахане, ВК (ред.). Достижения в прибрежном моделировании . Серия Elsevier Oceanography. Том. 67. Эльзевир. стр. 1–41. ISBN  0-444-51149-0 .
• Перегрин, Д.Х. (1967). «Длинные волны на пляже». Журнал механики жидкости . 27 (4): 815–827. Бибкод : 1967JFM....27..815P . дои : 10.1017/S0022112067002605 . S2CID   119385147 .
• Перегрин, Д.Х. (1972). «Уравнения волн на воде и стоящие за ними приближения». В Мейере, RE (ред.). Волны на пляжах и связанный с ними перенос наносов . Академическая пресса. стр. 95–122. ISBN  0-12-493250-9 .