Ионно-звуковая волна

В физике плазмы ионно -звуковая волна — это один из типов продольных колебаний ионов и электронов в плазме , во многом похожих на акустические волны, распространяющиеся в нейтральном газе. Однако, поскольку волны распространяются через положительно заряженные ионы, ионно-звуковые волны могут взаимодействовать с их электромагнитными полями , а также совершать простые столкновения. В плазме ионные акустические волны часто называют акустическими волнами или даже просто звуковыми волнами. Они обычно управляют эволюцией плотности массы, например, из-за градиентов давления , во временных масштабах, превышающих частоту, соответствующую соответствующему масштабу длины. Ионно-звуковые волны могут возникать в незамагниченной плазме или в намагниченной плазме, параллельной магнитному полю . Для односортной ионной плазмы и в длинноволновом пределе волны бездисперсионны ( $\omega =v_{s}k$) со скоростью, определяемой выражением (см. вывод ниже)

$v_{s}={\sqrt {\frac {\gamma _{e}Zk_{\text{B}}T_{e}+\gamma _{i}k_{\text{B}}T_{i}}{M}}}$

где $k_{\text{B}}$ — постоянная Больцмана , $M$ - масса иона, $Z$ это его заряд, $T_{e}$ температура электронов и $T_{i}$ – температура ионов. Обычно γ _e принимается за единицу на том основании, что теплопроводность электронов достаточно велика, чтобы сохранять их изотермическими в масштабе времени ионно-звуковых волн, а γ _i принимается равным 3, что соответствует одномерному движению. В бесстолкновительной плазме электроны часто намного горячее, чем ионы, и в этом случае второй член в числителе можно игнорировать.

Вывод

Выведено уравнение дисперсии ионно-звуковых волн для линеаризованного жидкостного описания плазмы с электронами и ${\textstyle N}$ виды ионов. Каждую величину запишем как $X=X_{0}+\delta \cdot X_{1}$где индекс 0 обозначает постоянное значение равновесия «нулевого порядка», а 1 обозначает возмущение первого порядка. $\delta$ является параметром порядка для линеаризации и имеет физическое значение 1. Для линеаризации мы уравновешиваем все члены в каждом уравнении одного и того же порядка в $\delta$. Все члены, включающие только величины с индексом 0, имеют порядок. $\delta ^{0}$и должны сбалансироваться, а термины с одним количеством с индексом-1 являются заказными. $\delta ^{1}$и баланс. Мы рассматриваем электрическое поле как порядок 1 ( ${\vec {E}}_{0}=0$) и пренебрегаем магнитными полями,

Каждый вид $s$ описывается массой $m_{s}$, заряжать $q_{s}=Z_{s}e$, плотность числа $n_{s}$, скорость потока ${\vec {u}}_{s}$, и давление $p_{s}$. Мы предполагаем, что возмущения давления для каждого вида представляют собой политропный процесс , а именно $p_{s1}=\gamma _{s}T_{s0}n_{s1}$ для видов $s$. Чтобы обосновать это предположение и определить значение $\gamma _{s}$, необходимо использовать кинетическую обработку, которая решает функции распределения видов в пространстве скоростей. Предположение о политропе по существу заменяет уравнение энергии.

Каждый вид удовлетворяет уравнению непрерывности $$\partial _{t}n_{s}+\nabla \cdot (n_{s}{\vec {u}}_{s})=0$$и уравнение импульса

$\partial _{t}{\vec {u}}_{s}+{\vec {u}}_{s}\cdot \nabla {\vec {u}}_{s}={Z_{s}e \over m_{s}}{\vec {E}}-{\nabla p_{s} \over n_{s}}$.

Теперь мы линеаризуем уравнения первого порядка и работаем с ними. Так как мы не работаем с $T_{s1}$в силу предположения о политропе (но мы не предполагаем, что она равна нулю), для облегчения обозначений мы используем $T_{s}$для $T_{s0}$. Используя уравнение неразрывности иона, уравнение импульса иона принимает вид

$(-m_{i}\partial _{tt}+\gamma _{i}T_{i}\nabla ^{2})n_{i1}=Z_{i}en_{i0}\nabla \cdot {\vec {E}}_{1}$

Связываем электрическое поле ${\vec {E}}_{1}$ к плотности электронов по уравнению количества движения электронов:

$n_{e0}m_{e}\partial _{t}{\vec {v}}_{e1}=-n_{e0}e{\vec {E}}_{1}-\gamma _{e}T_{e}\nabla n_{e1}$

Теперь мы пренебрегаем левой частью, обусловленной инерцией электронов. Это справедливо для волн с частотами, много меньшими электронной плазменной частоты. $(n_{e0}e^{2}/\epsilon _{0}m_{e})^{1/2}$. Это хорошее приближение для $m_{i}\gg m_{e}$, например, ионизированное вещество, но не для таких ситуаций, как электронно-дырочная плазма в полупроводниках или электрон-позитронная плазма. Результирующее электрическое поле

${\vec {E}}_{1}=-{\gamma _{e}T_{e} \over n_{e0}e}\nabla n_{e1}$

Поскольку мы уже нашли решение для электрического поля, мы не можем также найти его из уравнения Пуассона. Уравнение импульса иона теперь связывает $n_{i1}$ для каждого вида, чтобы $n_{e1}$:

$(-m_{i}\partial _{tt}+\gamma _{i}T_{i}\nabla ^{2})n_{i1}=-\gamma _{e}T_{e}\nabla ^{2}n_{e1}$

Мы приходим к дисперсионному соотношению через уравнение Пуассона:

${\epsilon _{0} \over e}\nabla \cdot {\vec {E}}_{1}=\left[\sum _{i=1}^{N}n_{i0}Z_{i}-n_{e0}\right]+\left[\sum _{i=1}^{N}n_{i1}Z_{i}-n_{e1}\right]$

Первый член в квадратных скобках справа по предположению равен нулю (зарядово-нейтральное равновесие). Подставим электрическое поле и переставим, чтобы найти

$(1-\gamma _{e}\lambda _{De}^{2}\nabla ^{2})n_{e1}=\sum _{i=1}^{N}Z_{i}n_{i1}$.

$\lambda _{De}^{2}\equiv \epsilon _{0}T_{e}/(n_{e0}e^{2})$ определяет дебаевскую длину электрона. Второе слагаемое слева возникает из $\nabla \cdot {\vec {E}}$ член и отражает степень, в которой возмущение не является зарядово-нейтральным. Если $k\lambda _{De}$ мал, мы можем отказаться от этого термина. Это приближение иногда называют плазменным приближением.

Теперь мы работаем в пространстве Фурье и записываем каждое поле порядка 1 как $X_{1}={\tilde {X}}_{1}\exp i({\vec {k}}\cdot {\vec {x}}-\omega t)+c.c.$ Мы опускаем тильду, поскольку теперь все уравнения применимы к амплитудам Фурье, и находим

$n_{i1}=\gamma _{e}T_{e}Z_{i}{n_{i0} \over n_{e0}}[m_{i}v_{s}^{2}-\gamma _{i}T_{i}]^{-1}n_{e1}$

$v_{s}=\omega /k$ – фазовая скорость волны. Подстановка этого в уравнение Пуассона дает нам выражение, в котором каждый член пропорционален $n_{e1}$. Чтобы найти дисперсионное уравнение для собственных мод, мы ищем решения для $n_{e1}$ ненулевое значение и найдите:

$\gamma _{e}T_{e}\left\langle {Z_{i}^{2} \over m_{i}v_{s}^{2}-\gamma _{i}T_{i}}\right\rangle =\langle Z_{i}\rangle (1+\gamma _{e}k^{2}\lambda _{De}^{2})$. ( отправлять )

$n_{i1}=f_{i}n_{I1}$ где $n_{I1}=\Sigma _{i}n_{i1}$, поэтому фракции ионов удовлетворяют $\Sigma _{i}f_{i}=1$, и $\langle X_{i}\rangle \equiv \Sigma _{i}f_{i}X_{i}$ — среднее число по видам ионов. Безразмерная версия этого уравнения:

${\gamma _{e} \over \langle Z_{i}\rangle }\left\langle {Z_{i}^{2}/A_{i} \over u^{2}-\tau _{i}}\right\rangle =1+\gamma _{e}k^{2}\lambda _{De}^{2}$

с $A_{i}=m_{i}/m_{u}$, $m_{u}$ атомная единица массы, $u^{2}=m_{u}v_{s}^{2}/T_{e}$, и

$\tau _{i}={\gamma _{i}T_{i} \over A_{i}T_{e}}$

Если $k\lambda _{De}$ мала (плазменное приближение), вторым членом в правой части можно пренебречь, и волна бездисперсионна $\omega =v_{s}k$ с $v_{s}$ не зависит от К.

Дисперсионное соотношение

Приведенное выше общее дисперсионное уравнение для ионно-звуковых волн можно представить в виде полинома N-го порядка (для N сортов ионов) в виде $u^{2}$. Все корни должны быть действительно положительными, поскольку мы пренебрегли демпфированием. Два признака $u$ соответствуют право- и леводвижущим волнам. Для одного вида ионов

$v_{s}^{2}={\gamma _{e}Z_{i}T_{e} \over m_{i}}{1 \over 1+\gamma _{e}(k\lambda _{De})^{2}}+{\gamma _{i}T_{i} \over m_{i}}={\gamma _{e}Z_{i}T_{e} \over m_{i}}\left[{1 \over 1+\gamma _{e}(k\lambda _{De})^{2}}+{\gamma _{i}T_{i} \over Z_{i}\gamma _{e}T_{e}}\right]$

Теперь мы рассмотрим несколько видов ионов для общего случая. $T_{i}\ll T_{e}$. Для $T_{i}=0$, дисперсионное уравнение имеет N-1 вырожденные корни $u^{2}=0$и один ненулевой корень

$v_{s}^{2}(T_{i}=0)\equiv {\gamma _{e}T_{e}/m_{u} \over 1+\gamma _{e}(k\lambda _{De})^{2}}{\langle Z_{i}^{2}/A_{i}\rangle \over \langle Z_{i}\rangle }$

Этот ненулевой корень называется «быстрым режимом», поскольку $v_{s}$ обычно превышает все тепловые скорости ионов. Приблизительное решение в быстром режиме для $T_{i}\ll T_{e}$ является

$v_{s}^{2}\approx v_{s}^{2}(T_{i}=0)+{\langle Z_{i}^{2}\gamma _{i}T_{i}/A_{i}^{2}\rangle \over m_{u}\langle Z_{i}^{2}/A_{i}\rangle }$

Корни N-1, равные нулю для $T_{i}=0$ называются «медленными режимами», поскольку $v_{s}$ может быть сравнима или меньше тепловой скорости одного или нескольких видов ионов.

Случай, представляющий интерес для ядерного синтеза, представляет собой эквимолярную смесь ионов дейтерия и трития ( $f_{D}=f_{T}=1/2$). Давайте специализируемся на полной ионизации ( $Z_{D}=Z_{T}=1$), равные температуры ( $T_{e}=T_{i}$), показатели политропы $\gamma _{e}=1,\gamma _{i}=3$, и пренебречь $(k\lambda _{De})^{2}$ вклад. Дисперсионное соотношение становится квадратичным по $v_{s}^{2}$, а именно:

$2A_{D}A_{T}u^{4}-7(A_{D}+A_{T})u^{2}+24=0$

С использованием $(A_{D},A_{T})=(2.01,3.02)$ мы находим, что два корня $u^{2}=(1.10,1.81)$.

Другой интересный случай — это случай с двумя видами ионов очень разных масс. Примером может служить смесь золота (A=197) и бора (A=10,8), которая в настоящее время представляет интерес для хольраумов для исследований в области лазерного инерционного термоядерного синтеза. В качестве конкретного примера рассмотрим $\gamma _{e}=1$ и $\gamma _{i}=3,T_{i}=T_{e}/2$ для обоих видов ионов и зарядовых состояний Z=5 для бора и Z=50 для золота. Оставляем атомную долю бора $f_{B}$ не указано (примечание $f_{Au}=1-f_{B}$). Таким образом, ${\bar {Z}}=50-45f_{B},\tau _{B}=0.139,\tau _{Au}=0.00761,F_{B}=2.31f_{B}/{\bar {Z}},$ и $F_{Au}=12.69(1-f_{B})/{\bar {Z}}$.

Демпфирование

Ионные акустические волны затухают как за счет кулоновских столкновений , так и за счет бесстолкновительного затухания Ландау . Затухание Ландау происходит как на электронах, так и на ионах, относительная значимость которого зависит от параметров.

См. также

• Волны в плазме
• Звук
• Альфвеновская волна
• Магнитозвуковая волна

Внешние ссылки

• Различные патенты и статьи, связанные с термоядерным синтезом, IEC, ICC и физикой плазмы.