Бонди k -исчисление

Бонди K -исчисление — это метод преподавания специальной теории относительности, популяризированный сэром Германом Бонди , который использовался на уроках физики университетского уровня (например, в Оксфордском университете). ), а также в некоторых учебниках по теории относительности.

Полезность k -исчисления заключается в его простоте. Многие введения в теорию относительности начинаются с понятия скорости и вывода преобразования Лоренца . Другие концепции, такие как замедление времени , сокращение длины , относительность одновременности , разрешение парадокса близнецов и релятивистский эффект Доплера , затем выводятся из преобразования Лоренца, и все они являются функциями скорости.

Бонди в своей книге «Относительность и здравый смысл » впервые опубликовано в 1964 году и основано на статьях, опубликованных в The Illustrated London News в 1962 году, порядок изложения изменен на противоположный. Он начинает с того, что он называет «фундаментальным соотношением», обозначаемым буквой $k$ (который оказывается радиальным фактором Доплера). Отсюда он объясняет парадокс близнецов и относительность одновременности, замедления времени и сокращения длины, и все это с точки зрения $k$. Лишь позже в изложении он устанавливает связь между скоростью и фундаментальным соотношением. $k$. Преобразование Лоренца появляется ближе к концу книги.

История

Метод k -исчисления ранее использовался Е. А. Милном в 1935 году. Милн использовал букву $s$ для обозначения постоянного доплеровского фактора, но также рассматривается более общий случай, включающий неинерционное движение (и, следовательно, изменяющийся доплеровский фактор). Бонди использовал букву $k$ вместо $s$ и упростил изложение (для постоянного $k$ только) и ввёл название « k -исчисление».

Бонди К -фактор

Диаграмма пространства-времени для определения k -фактора

  Алиса

  Боб

  Вспышка света

Рассмотрим двух инерциальных наблюдателей, Алису и Боба, движущихся прямо друг от друга с постоянной относительной скоростью. Алиса каждый раз посылает Бобу вспышку синего света. $T$ секунд по ее собственным часам. Поскольку Алиса и Боб разделены расстоянием, между Алисой, посылающей вспышку, и Бобом, принимающим вспышку, существует задержка. Более того, расстояние разделения постоянно увеличивается с постоянной скоростью, поэтому задержка продолжает увеличиваться. Это означает, что интервал времени между получением вспышек Бобом, измеренный его часами, больше, чем $T$ секунды, скажи $kT$ секунды для некоторой константы $k>1$. (Если бы вместо этого Алиса и Боб двигались прямо навстречу друг другу, применялся бы аналогичный аргумент, но в этом случае $k<1$.)

Бонди описывает $k$ как «фундаментальное соотношение», и другие авторы с тех пор назвали его « k -фактором Бонди -фактором Бонди» или « k ».

Вспышки Алисы передаются с частотой $f_{s}=1/T$ Гц, по ее часам, и полученный Бобом на частоте $f_{o}=1/(kT)$ Хз, по его часам. Это подразумевает доплеровский фактор $f_{s}/f_{o}=k$. -фактор Бонди Таким образом, k — это другое название фактора Доплера (когда источник Алиса и наблюдатель Боб движутся прямо друг от друга или навстречу друг другу).

Если бы Алиса и Боб поменялись ролями, и Боб послал бы Алисе вспышки света, принцип относительности (первый постулат Эйнштейна) подразумевает, что k -фактор от Боба к Алисе был бы тем же значением, что и k -фактор от Алисы к Алисе. Боб, поскольку все инерциальные наблюдатели эквивалентны. Таким образом, k -фактор зависит только от относительной скорости между наблюдателями и больше ни от чего.

Обратный k -фактор

Диаграмма пространства-времени для обратного k -фактора

  Алиса

  Боб

  Дэйв

  Вспышка света

Рассмотрим теперь третьего инерционного наблюдателя Дэйва, который находится на фиксированном расстоянии от Алисы и так, что Боб лежит на прямой линии между Алисой и Дэйвом. Поскольку Алиса и Дейв взаимно покоятся, задержка от Алисы до Дейва постоянна. Это означает, что Дэйв получает синие вспышки Алисы один раз в $T$ секунды, по его часам, с той же скоростью, с которой их отправляет Алиса. Другими словами, k -фактор от Алисы до Дэйва равен единице.

Теперь предположим, что всякий раз, когда Боб получает синюю вспышку от Алисы, он немедленно посылает свою красную вспышку в сторону Дэйва, один раз в $kT$ секунды (по часам Боба). Второй постулат Эйнштейна о том, что скорость света не зависит от движения его источника, подразумевает, что синяя вспышка Алисы и красная вспышка Боба движутся с одинаковой скоростью, не обгоняя другую, и поэтому достигают Дэйва в одно и то же время. Итак, Дэйв каждый раз получает красную вспышку от Боба. $T$ секунд по часам Дэйва, которые Боб присылал каждые $kT$ секунды по часам Боба. Это означает, что k -фактор от Боба до Дэйва равен $1/k$.

Это устанавливает, что k -фактор для наблюдателей, движущихся прямо друг от друга (красное смещение), является обратной величиной k -фактора для наблюдателей, движущихся прямо навстречу друг другу с одинаковой скоростью (синее смещение). 

Парадокс близнецов

Диаграмма пространства-времени для парадокса близнецов

  Алиса

  Боб

  Кэрол

  Дэйв

  Вспышка света

Рассмотрим теперь четвертого инерционного наблюдателя Кэрол, которая движется от Дейва к Алисе точно с той же скоростью, с которой Боб движется от Алисы к Дейву. Путешествие Кэрол рассчитано так, что она покидает Дэйва точно в то же время, когда прибывает Боб. Обозначим время, зафиксированное часами Алисы, Боба и Кэрол, через $t_{A},t_{B},t_{C}$.

Когда Боб проходит мимо Алисы, они оба синхронизируют свои часы с $t_{A}=t_{B}=0$. Когда Кэрол проходит мимо Боба, она синхронизирует свои часы с часами Боба. $t_{C}=t_{B}$. Наконец, когда Кэрол проходит мимо Алисы, они сравнивают свои часы друг с другом. В ньютоновской физике ожидается, что при окончательном сравнении часы Алисы и Кэрол совпадут: $t_{C}=t_{A}$. Ниже будет показано, что в теории относительности это неверно. Это версия известного « парадокса близнецов », в котором однояйцевые близнецы разделяются и воссоединяются только для того, чтобы обнаружить, что один теперь старше другого.

Если Алиса вовремя посылает вспышку света $t_{A}=T$ в сторону Боба, то по определению k -фактора он будет получен Бобом в момент времени $t_{B}=kT$. Вспышка рассчитана так, что она достигает Боба как раз в тот момент, когда Боб встречает Кэрол, поэтому Кэрол синхронизирует свои часы, чтобы прочитать $t_{C}=t_{B}=kT$.

Кроме того, когда Боб и Кэрол встречаются, они оба одновременно посылают Алисе вспышки, которые Алиса одновременно получает. Учитывая, во-первых, вспышку Боба, отправленную вовремя $t_{B}=kT$, он должен быть получен Алисой вовремя $t_{A}=k^{2}T$, используя тот факт, что k -фактор от Алисы к Бобу такой же, как k -фактор от Боба к Алисе.

Поскольку путешествие Боба длилось $kT$, согласно его часам, из симметрии следует, что обратный путь Кэрол на то же расстояние с той же скоростью также должен иметь продолжительность $kT$, по ее часам, и поэтому, когда Кэрол встречает Алису, часы Кэрол показывают $t_{C}=2kT$. Коэффициент k для этого участка пути должен быть обратным $1/k$ (как обсуждалось ранее), поэтому, учитывая вспышку Кэрол в сторону Алисы, интервал передачи $kT$ соответствует интервалу приема $T$. Это означает, что последнее время на часах Алисы, когда Кэрол и Алиса встречаются, будет $t_{A}=(k^{2}+1)T$. Это больше, чем время на часах Кэрол. $t_{C}=2kT$ с $$t_{A}-t_{C}=(k^{2}-2k+1)T=(k-1)^{2}T>0,$$предоставил $k\neq 1$ и $T>0$.  

Радарные измерения и скорость

Диаграмма пространства-времени для радиолокационных измерений

  Алиса

  Боб

  Дэйв

  Радарный импульс

В методологии k -исчисления расстояния измеряются с помощью радара . Наблюдатель посылает радиолокационный импульс к цели и получает от нее эхо. Радарный импульс (который распространяется со скоростью $c$(скорость света) проходит общее расстояние туда и обратно, что в два раза превышает расстояние до цели, и занимает время $T_{2}-T_{1}$, где $T_{1}$ и $T_{2}$ – времена, регистрируемые часами наблюдателя при передаче и приеме радиолокационного импульса. Это означает, что расстояние до цели $$x_{A}={\tfrac {1}{2}}c(T_{2}-T_{1}).$$

Кроме того, поскольку скорость света одинакова в обоих направлениях, время, в которое радиолокационный импульс достигает цели, должно, по мнению наблюдателя, находиться посередине между временем передачи и приема, а именно $$t_{A}={\tfrac {1}{2}}(T_{2}+T_{1}).$$

В частном случае, когда радиолокационным наблюдателем является Алиса, а целью — Боб (на данный момент находящийся рядом с Дэйвом), как описано ранее, с помощью k -исчисления мы имеем $T_{2}=k^{2}T_{1}$, и так $${\begin{aligned}x_{A}&={\tfrac {1}{2}}c(k^{2}-1)T_{1}\\t_{A}&={\tfrac {1}{2}}(k^{2}+1)T_{1}.\end{aligned}}$$

Поскольку Алиса и Боб находились в одном месте $t_{A}=0,x_{A}=0$, скорость Боба относительно Алисы определяется выражением

$$v={\frac {x_{A}}{t_{A}}}={\frac {{\tfrac {1}{2}}c(k^{2}-1)T_{1}}{{\tfrac {1}{2}}(k^{2}+1)T_{1}}}=c{\frac {k^{2}-1}{k^{2}+1}}=c{\frac {k-k^{-1}}{k+k^{-1}}}.$$

Это уравнение выражает скорость как функцию k -фактора Бонди. Это можно решить за $k$ дать $k$ как функция $v$: $$k={\sqrt {\frac {1+v/c}{1-v/c}}}.$$

Скоростной состав

Диаграмма пространства-времени, показывающая k -фактора состав

  Алиса

  Боб

  Эд

  Вспышка света

Рассмотрим трех инерциальных наблюдателей Алису, Боба и Эда, расположенных в указанном порядке и движущихся с разными скоростями по одной и той же прямой. В этом разделе используются обозначения $k_{AB}$ будет использоваться для обозначения k -фактора от Алисы до Боба (и аналогично между другими парами наблюдателей).

Как и раньше, Алиса каждый раз посылает синюю вспышку в сторону Боба и Эда. $T$ секунд по ее часам, которые Боб получает каждые $k_{AB}T$ секунд по часам Боба, и Эд получает каждые $k_{AE}T$ секунды по часам Эда.

Теперь предположим, что всякий раз, когда Боб получает синюю вспышку от Алисы, он немедленно посылает свою красную вспышку в сторону Эда, один раз в $k_{AB}T$ секунд по часам Боба, поэтому Эд получает красную вспышку от Боба каждые $k_{BE}(k_{AB}T)$ секунды по часам Эда. Второй постулат Эйнштейна о том, что скорость света не зависит от движения его источника, подразумевает, что синяя вспышка Алисы и красная вспышка Боба движутся с одинаковой скоростью, не обгоняя другую, и поэтому достигают Эда в одно и то же время. Следовательно, по измерениям Эда, интервал красной вспышки $k_{BE}(k_{AB}T)$ и интервал синей вспышки $k_{AE}T$ должно быть то же самое. Итак, правило объединения k -факторов – это просто умножение: $$k_{AE}=k_{AB}k_{BE}.$$

Наконец, заменив $$k_{AB}={\sqrt {\frac {1+v_{AB}/c}{1-v_{AB}/c}}},\,k_{BE}={\sqrt {\frac {1+v_{BE}/c}{1-v_{BE}/c}}},\,v_{AE}=c{\frac {k_{AE}^{2}-1}{k_{AE}^{2}+1}}$$дает формулу скоростного состава $$v_{AE}={\frac {v_{AB}+v_{BE}}{1+v_{AB}v_{BE}/c^{2}}}.$$

Инвариантный интервал

Диаграмма пространства-времени для вывода инвариантного интервала и преобразования Лоренца

  Алиса

  Боб

  Радарный импульс

Используя описанный ранее радиолокационный метод, инерциальный наблюдатель Алиса присваивает координаты $(t_{A},x_{A})$ к событию путем передачи радиолокационного импульса во времени $t_{A}-x_{A}/c$ и вовремя получить его эхо $t_{A}+x_{A}/c$, по измерениям ее часов.

Точно так же инерционный наблюдатель Боб может присваивать координаты $(t_{B},x_{B})$ на одно и то же событие путем передачи радиолокационного импульса во времени $t_{B}-x_{B}/c$ и вовремя получить его эхо $t_{B}+x_{B}/c$, по измерениям его часов. Однако, как показано на диаграмме, Бобу не обязательно генерировать собственный радиолокационный сигнал, поскольку вместо этого он может просто взять тайминги из сигнала Алисы.

Теперь, применив метод k -исчисления к сигналу, который проходит от Алисы к Бобу $$k={\frac {t_{B}-x_{B}/c}{t_{A}-x_{A}/c}}.$$

Аналогично, применяя метод k -исчисления к сигналу, который передается от Боба к Алисе $$k={\frac {t_{A}+x_{A}/c}{t_{B}+x_{B}/c}}.$$

Приравнивая два выражения для $k$ и перестановка, $$c^{2}t_{A}^{2}-x_{A}^{2}=c^{2}t_{B}^{2}-x_{B}^{2}.$$

Тем самым установлено, что количество $c^{2}t^{2}-x^{2}$ является инвариантом: он принимает одно и то же значение в любой инерциальной системе координат и известен как инвариантный интервал .

Преобразование Лоренца

Два уравнения для $k$ в предыдущем разделе можно решить как одновременные уравнения, чтобы получить: $${\begin{aligned}ct_{B}&={\tfrac {1}{2}}(k+k^{-1})ct_{A}-{\tfrac {1}{2}}(k-k^{-1})x_{A}\\x_{B}&={\tfrac {1}{2}}(k+k^{-1})x_{A}-{\tfrac {1}{2}}(k-k^{-1})ct_{A}\end{aligned}}$$

Эти уравнения представляют собой преобразование Лоренца, выраженное через k -фактор Бонди, а не через скорость. Подставив $$k={\sqrt {\frac {1+v/c}{1-v/c}}},$$более традиционная форма $$t_{B}={\frac {t_{A}-vx_{A}/c^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}};\,x_{B}={\frac {x_{A}-vt_{A}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$$получается.

Быстрота

Быстрота $\varphi$ может быть определена из k -фактора как $$\varphi =\log _{e}k,\,k=e^{\varphi },$$и так $$v=c{\frac {k-k^{-1}}{k+k^{-1}}}=c\tanh \varphi .$$

Версия с k преобразования Лоренца -фактором становится $${\begin{aligned}ct_{B}&=ct_{A}\cosh \varphi -x_{A}\sinh \varphi \\x_{B}&=x_{A}\cosh \varphi -ct_{A}\sinh \varphi \end{aligned}}$$

Это следует из правила композиции $k$, $k_{AE}=k_{AB}k_{BE}$, что правило композиции быстростей представляет собой сложение: $$\varphi _{AE}=\varphi _{AB}+\varphi _{BE}.$$

Внешние ссылки

• Обзор Bondi k-Calculus