Стабильная карта

В математике , особенно в симплектической топологии и алгебраической геометрии , можно построить пространство модулей устойчивых отображений , удовлетворяющих заданным условиям, из римановых поверхностей в заданное симплектическое многообразие . Это пространство модулей составляет суть инвариантов Громова–Виттена , которые находят применение в перечислительной геометрии и теории струн типа IIA . Идея стабильной карты была предложена Максимом Концевичем примерно в 1992 году и опубликована в работе Концевича (1995) .

Ввиду длительности и сложности конструкции она проводится здесь, а не в самой статье об инвариантах Громова–Виттена.

Гладкие псевдоголоморфные кривые

Зафиксируйте замкнутое симплектическое многообразие $X$ с симплектической формой $\omega$. Позволять $g$ и $n$ быть натуральными числами (включая ноль) и $A$ двумерный класс гомологии в $X$. Тогда можно рассмотреть множество псевдоголоморфных кривых

$((C,j),f,(x_{1},\ldots ,x_{n}))\,$

где $(C,j)$ — гладкая замкнутая риманова поверхность рода $g$ с $n$ отмеченные точки $x_{1},\ldots ,x_{n}$, и

$f:C\to X\,$

является функцией, удовлетворяющей при некотором выборе $\omega$-ручная почти сложная структура $J$ и неоднородный член $\nu$, возмущенное уравнение Коши–Римана

${\bar {\partial }}_{j,J}f:={\frac {1}{2}}(df+J\circ df\circ j)=\nu .$

Обычно признаются только те $g$ и $n$ которые делают проколотую эйлерову характеристику $2-2g-n$ из $C$ отрицательный. Тогда область стабильна , а это означает, что существует лишь конечное число голоморфных автоморфизмов $C$ сохраняющие отмеченные точки.

Оператор ${\bar {\partial }}_{j,J}$ эллиптичен по и, следовательно, Фредгольму . После значительных аналитических рассуждений (пополнения в подходящей норме Соболева , применения теоремы о неявной функции и теоремы Сарда для банаховых многообразий и использования эллиптической регулярности для восстановления гладкости) можно показать, что для общего выбора $\omega$-приручить $J$ и возмущение $\nu$, набор $(j,J,\nu )$-голоморфные кривые рода $g$ с $n$ отмеченные точки, обозначающие класс $A$ образует гладкий ориентированный орбифолд

$M_{g,n}^{J,\nu }(X,A)$

размерности, заданной теоремой об индексе Атьи-Зингера ,

$d:=\dim _{\mathbb {R} }M_{g,n}(X,A)=2c_{1}^{X}(A)+(\dim _{\mathbb {R} }X-6)(1-g)+2n.$

Мотивация

Пространство модулей $M_{g,n}^{J,\nu }(X,A)$ не компактен , поскольку последовательность кривых может вырождаться в особую кривую, которая не находится в пространстве модулей, как определено выше. происходит, например, когда энергия Это $f$ (имеется в виду Л ² норма производной) концентрируется в некоторой точке области определения.

Энергию можно уловить, изменив масштаб карты вокруг точки концентрации. В результате сфера, называемая пузырьком , прикрепляется к исходной области в точке концентрации и расширяется по всей сфере. Масштабированная карта по-прежнему может иметь концентрацию энергии в одной или нескольких точках, поэтому необходимо масштабировать итеративно, в конечном итоге прикрепляя все пузырьковое дерево к исходной области, при этом карта хорошо себя ведет на каждом гладком компоненте новой области.

Определение

Определим стабильное отображение как псевдоголоморфное отображение римановой поверхности с не более чем узловыми особенностями, такое, что существует только конечное число автоморфизмов отображения.

Конкретно это означает следующее. Гладкая компонента нодальной римановой поверхности называется устойчивой , если существует не более конечного числа автоморфизмов, сохраняющих ее отмеченные и узловые точки. Тогда стабильное отображение — это псевдоголоморфное отображение хотя бы с одной стабильной компонентой области, такое, что для каждой из остальных компонент области

• карта непостоянна для этого компонента, или
• этот компонент стабилен.

Существенно, что областью устойчивого отображения не обязательно должна быть устойчивая кривая. Однако можно (итеративно) сжимать его нестабильные компоненты, чтобы получить стабильную кривую, называемую стабилизацией. $\mathrm {st} (C)$ домена $C$.

Стабильная компактификация карт

Множество всех стабильных отображений римановых поверхностей рода $g$ с $n$ отмеченные точки образуют пространство модулей

${\overline {M}}_{g,n}^{J,\nu }(X,A).$

Топология определяется утверждением, что последовательность стабильных отображений сходится тогда и только тогда, когда

• их (стабилизированные) области сходятся в пространстве модулей кривых Делиня–Мамфорда ${\overline {M}}_{g,n}$,
• они сходятся равномерно по всем производным на компактных подмножествах вдали от узлов и
• энергия, концентрирующаяся в любой точке, равна энергии в дереве пузырей, прикрепленном к этой точке на карте пределов.

Пространство модулей устойчивых отображений компактно; то есть любая последовательность стабильных отображений сходится к стабильному отображению. Чтобы показать это, мы итеративно масштабируем последовательность карт. На каждой итерации возникает новая предельная область, возможно, сингулярная, с меньшей концентрацией энергии, чем на предыдущей итерации. На этом этапе симплектическая форма $\omega$ вступает решающим образом. Энергия любого гладкого отображения, представляющего класс гомологии $B$ ограничена снизу симплектической областью $\omega (B)$,

$\omega (B)\leq {\frac {1}{2}}\int |df|^{2},$

с равенством тогда и только тогда, когда отображение псевдоголоморфно. Это ограничивает энергию, улавливаемую на каждой итерации масштабирования, и, таким образом, подразумевает, что для захвата всей энергии требуется только конечное число масштабирования. В конце концов, карта пределов в новом предельном домене стабильна.

Компактифицированное пространство снова представляет собой гладкий ориентированный орбифолд. Отображения с нетривиальными автоморфизмами соответствуют изотропным точкам орбифолда.

Gromov–Witten pseudocycle

Чтобы построить инварианты Громова – Виттена, нужно сдвинуть пространство модулей стабильных отображений вперед под оценочное отображение.

$M_{g,n}^{J,\nu }(X,A)\to {\overline {M}}_{g,n}\times X^{n},$

$((C,j),f,(x_{1},\ldots ,x_{n}))\mapsto (\mathrm {st} (C,j),f(x_{1}),\ldots ,f(x_{n}))$

получить при подходящих условиях класс рациональной гомологии

$GW_{g,n}^{X,A}\in H_{d}({\overline {M}}_{g,n}\times X^{n},\mathbb {Q} ).$

Рациональные коэффициенты необходимы, поскольку пространство модулей является орбифолдом. Класс гомологии, определенный картой оценки, не зависит от выбора общего $\omega$-приручить $J$ и возмущение $\nu$. Он называется Громова–Виттена (GW) инвариантом $X$ по заданным данным $g$, $n$, и $A$. Аргумент кобордизма можно использовать, чтобы показать, что этот класс гомологии не зависит от выбора $\omega$, с точностью до изотопии. Таким образом, инварианты Громова–Виттена являются инвариантами симплектических изотопических классов симплектических многообразий.

«Подходящие условия» довольно тонкие, прежде всего потому, что многократно покрытые карты (карты, учитывающие разветвленное покрытие области) могут образовывать пространства модулей большей размерности, чем ожидалось.

Самый простой способ справиться с этим — предположить, что целевое многообразие $X$ является полуположительным или Фано в определенном смысле. Это предположение выбрано именно для того, чтобы пространство модулей многократно покрытых отображений имело коразмерность не менее двух в пространстве некратно покрытых отображений. Тогда образ карты оценки образует псевдоцикл , который индуцирует четко определенный класс гомологии ожидаемой размерности.

Определение инвариантов Громова–Виттена без предположения какой-либо полуположительности требует сложной технической конструкции, известной как цикл виртуальных модулей .

Ссылки

• Дуса Макдафф и Дитмар Саламон, J-голоморфные кривые и симплектическая топология , публикации коллоквиума Американского математического общества, 2004. ISBN   0-8218-3485-1 .
• Концевич, Максим (1995). «Перечисление рациональных кривых через действия тора». прогр. Математика . 129 : 335–368. МР   1363062 .