Прыгающая линия

В математике прыгающая линия или исключительная линия векторного расслоения над проективным пространством - это проективная линия в проективном пространстве, где векторное расслоение имеет исключительное поведение, другими словами, структура его ограничения на прямую «скачет». Строки для прыжков были представлены РЛЭ Шварценбергером в 1961 году. Прыгающие линии векторного расслоения образуют собственное замкнутое подмножество грассманиана всех линий проективного пространства.

Теорема Биркгофа – Гротендика классифицирует n -мерные векторные расслоения над проективной прямой как соответствующие неупорядоченным n -наборам целых чисел. Это явление нельзя обобщить на проективные пространства более высокой размерности, а именно, нельзя разложить произвольное расслоение в терминах суммы степеней Уитни тавтологического расслоения или, фактически, линейных расслоений в целом. Тем не менее, можно получить информацию такого типа, используя следующий метод. Учитывая пакет на $\mathbb {CP} ^{n}$, ${\mathcal {E}}$, мы можем занять очередь $L$ в $\mathbb {CP} ^{n}$или, что то же самое, двумерное подпространство $\mathbb {C} ^{n+1}$. Это образует многообразие, эквивалентное $\mathbb {CP} ^{1}$ встроенный в $\mathbb {CP} ^{n}$, поэтому мы можем ограничить ${\mathcal {E}}_{L}$ к $L$, и он будет разлагаться по теореме Биркгофа–Гротендика в сумму степеней тавтологического расслоения. Можно показать, что уникальный кортеж целых чисел, заданный этим разделением, одинаков для «общего» выбора строки. Говоря более технически, существует непустое открытое подмногообразие грассманиана прямых в $\mathbb {CP} ^{n}$, с однотипным разложением. Линии, декомпозиция которых отличается от этого общего типа, называются «прыгающими линиями». Если расслоение в общем случае тривиально вдоль прямых, то прыгающие линии — это именно те линии, для которых ограничение нетривиально.

Пример

Предположим, что V — 4-мерное комплексное векторное пространство с невырожденной кососимметричной формой. Существует векторное расслоение ранга 2 над 3-мерным комплексным проективным пространством, связанным с V , которое присваивает каждой строке L из V 2-мерное векторное пространство L ^⊥ / Л . Тогда плоскость V соответствует прыгающей прямой этого векторного расслоения тогда и только тогда, когда она изотропна для кососимметричной формы.

Дальнейшее чтение

• Муласе, Мотохико (1979), «Полюсы инстантонов и прыгающие линии алгебраических векторных расслоений на P³» , Японская академия. Слушания. Серия А. Математические науки , 55 (5): 185–189, doi : 10.3792/pjaa.55.185 , ISSN   0386-2194 , MR   0533544