Аффинный моноид

В абстрактной алгебре , разделе математики , аффинный моноид — это коммутативный моноид , который конечно порожден и изоморфен субмоноиду свободной абелевой группы. $\mathbb {Z} ^{d},d\geq 0$. Аффинные моноиды тесно связаны с выпуклыми многогранниками , и связанные с ними алгебры очень полезны при алгебраическом изучении этих геометрических объектов.

Характеристика

• Аффинные моноиды конечно порождены . Это означает для моноида $M$, существует $m_{1},\dots ,m_{n}\in M$ такой, что

$M=m_{1}\mathbb {Z_{+}} +\dots +m_{n}\mathbb {Z_{+}}$.

• Аффинные моноиды являются отменяющимися . Другими словами,

$x+y=x+z$ подразумевает, что $y=z$ для всех $x,y,z\in M$, где $+$ обозначает бинарную операцию над аффинным моноидом $M$.

• Аффинные моноиды также не имеют кручения . Для аффинного моноида $M$, $nx=ny$ подразумевает, что $x=y$ для $n\in \mathbb {N}$, и $x,y\in M$.
• Подмножество $N$ моноида $M$ который сам по себе является моноидом относительно операции над $M$ является субмоноидом ​ $M$.

Свойства и примеры

• Каждый субмоноид $\mathbb {Z}$ конечно порождено. Следовательно, каждый субмоноид $\mathbb {Z}$ является аффинным.
• Субмоноид $\{(x,y)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \mid y>0\}\cup \{(0,0)\}$ из $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ является не конечно порожденным и, следовательно, не аффинным.
• Пересечение двух аффинных моноидов представляет собой аффинный моноид.

Аффинные моноиды

Группа различий

Смотрите также: группа Гротендика

Если $M$ является аффинным моноидом, его можно вложить в группу . Точнее, существует уникальная группа $gp(M)$, называемая группой различий , в которой $M$ можно встроить.

Определение

• $gp(M)$ можно рассматривать как множество классов эквивалентностей $x-y$, где $x-y=u-v$ тогда и только тогда, когда $x+v+z=u+y+z$, для $z\in M$, и

$(x-y)+(u-v)=(x+u)-(y+v)$ определяет дополнение.

• Ранг моноида аффинного $M$ это группы ранг $gp(M)$.
• Если аффинный моноид $M$ задается как субмоноид $\mathbb {Z} ^{r}$, затем $gp(M)\cong \mathbb {Z} M$, где $\mathbb {Z} M$ является подгруппой $\mathbb {Z} ^{r}$.

Универсальная собственность

• Если $M$ является аффинным моноидом, то гомоморфизм моноида $\iota :M\to gp(M)$ определяется $\iota (x)=x+0$ удовлетворяет следующему универсальному свойству :

для любого моноидного гомоморфизма $\varphi :M\to G$, где $G$ является группой, существует единственный групповой гомоморфизм $\psi :gp(M)\to G$, такой, что $\varphi =\psi \circ \iota$, а поскольку аффинные моноиды сокращаются, отсюда следует, что $\iota$ является вложением. Другими словами, каждый аффинный моноид можно вложить в группу.

Нормальные

Определение

• Если $M$ является субмоноидом аффинного моноида $N$, то субмоноид

${\hat {M}}_{N}=\{x\in N\mid mx\in M,m\in \mathbb {N} \}$

является интегральным замыканием $M$ в $N$. Если $M={\hat {M_{N}}}$, затем $M$ является целостно замкнутым .

• Нормализация моноида аффинного $M$ является интегральным замыканием $M$ в $gp(M)$. Если нормализация $M$, является $M$ сам, тогда $M$ является нормальным аффинным моноидом.
• Моноид $M$ является нормальным аффинным моноидом тогда и только тогда, когда $\mathbb {R} _{+}M$ конечно порождена и $M=\mathbb {Z} ^{r}\cap \mathbb {R} _{+}M$ .

Аффинные моноидные кольца

см. также: Групповое кольцо

Определение

• Позволять $M$ быть аффинным моноидом, и $R$ коммутативное кольцо . Тогда можно образовать аффинное моноидное кольцо $R[M]$. Это $R$-модуль на бесплатной основе $M$, так что если $f\in R[M]$, затем

$f=\sum _{i=1}^{n}f_{i}x_{i}$, где $f_{i}\in R,x_{i}\in M$, и $n\in \mathbb {N}$.

Другими словами, $R[M]$ – множество конечных сумм элементов $M$ с коэффициентами в $R$.

Связь с выпуклой геометрией

Аффинные моноиды естественным образом возникают из выпуклых многогранников, выпуклых конусов и связанных с ними дискретных структур.

• Позволять $C$ быть рациональным выпуклым конусом в $\mathbb {R} ^{n}$, и пусть $L$ быть решеткой в $\mathbb {Q} ^{n}$. Затем $C\cap L$ является аффинным моноидом. (Лемма 2.9, лемма Гордана)
• Если $M$ является субмоноидом $\mathbb {R} ^{n}$, затем $\mathbb {R} _{+}M$ является конусом тогда и только тогда, когда $M$ является аффинным моноидом.
• Если $M$ является субмоноидом $\mathbb {R} ^{n}$, и $C$ представляет собой конус, образованный элементами $gp(M)$, затем $M\cap C$ является аффинным моноидом.
• Позволять $P$ в $\mathbb {R} ^{n}$ быть рациональным многогранником, $C$ конус рецессии ​ $P$, и $L$ решетка в $\mathbb {Q} ^{n}$. Затем $P\cap L$ — конечно порожденный модуль над аффинным моноидом $C\cap L$. (Теорема 2.12)

См. также

• Моноид
• Выпуклый конус
• Выпуклый многогранник
• Решетка (групповая)
• К-теория