Конус рецессии

В математике , особенно в выпуклом анализе , конус спада множества $A$ является конусом, содержащим все векторы такие, что $A$ отступает в этом направлении. То есть набор простирается наружу во всех направлениях, заданных конусом спада.

Математическое определение

Учитывая непустое множество $A\subset X$ для некоторого векторного пространства $X$, то конус спада $\operatorname {recc} (A)$ дается

$\operatorname {recc} (A)=\{y\in X:\forall x\in A,\forall \lambda \geq 0:x+\lambda y\in A\}.$

Если $A$ кроме того, является выпуклым множеством , то конус рецессии можно эквивалентно определить как

$\operatorname {recc} (A)=\{y\in X:\forall x\in A:x+y\in A\}.$

Если $A$ является непустым замкнутым выпуклым множеством, то конус рецессии можно эквивалентно определить как

$\operatorname {recc} (A)=\bigcap _{t>0}t(A-a)$ на любой выбор $a\in A.$

Характеристики

• Если $A$ тогда это непустое множество $0\in \operatorname {recc} (A)$.
• Если $A$ является непустым выпуклым множеством, то $\operatorname {recc} (A)$ представляет собой выпуклый конус .
• Если $A$ — непустое замкнутое выпуклое подмножество конечномерного хаусдорфова пространства (например, $\mathbb {R} ^{d}$), затем $\operatorname {recc} (A)=\{0\}$ тогда и только тогда, когда $A$ ограничен.
• Если $A$ тогда это непустое множество $A+\operatorname {recc} (A)=A$ где сумма обозначает сложение Минковского .

Связь с асимптотическим конусом

Асимптотический конус для $C\subseteq X$ определяется

$C_{\infty }=\{x\in X:\exists (t_{i})_{i\in I}\subset (0,\infty ),\exists (x_{i})_{i\in I}\subset C:t_{i}\to 0,t_{i}x_{i}\to x\}.$

По определению легко показать, что $\operatorname {recc} (C)\subseteq C_{\infty }.$

Тогда в конечномерном пространстве можно показать, что $C_{\infty }=\operatorname {recc} (C)$ если $C$ непусто, замкнуто и выпукло. В бесконечномерных пространствах связь между асимптотическими конусами и конусами рецессии более сложная, и свойства их эквивалентности суммированы в .

Сумма закрытых множеств

• Теорема Дьедонне : пусть непустые замкнутые выпуклые множества $A,B\subset X$ , локально выпуклое пространство если $A$ или $B$ локально компактен и $\operatorname {recc} (A)\cap \operatorname {recc} (B)$ — линейное подпространство , то $A-B$ закрыт.
• Пусть непустые замкнутые выпуклые множества $A,B\subset \mathbb {R} ^{d}$ такой, что для любого $y\in \operatorname {recc} (A)\backslash \{0\}$ затем $-y\not \in \operatorname {recc} (B)$, затем $A+B$ закрыт.

См. также

• Барьерный конус