Локальная дзета-функция

В теории чисел локальная дзета-функция Z ( V , s ) (иногда называемая конгруэнтной дзета-функцией или дзета-функцией Хассе-Вейля ) определяется как

$Z(V,s)=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}(q^{-s})^{k}\right)$

где V — неособое n -мерное проективное алгебраическое многообразие над полем F _q с q элементами, а N _k — число точек V, определенных над конечным расширением поля F _{q. ^к} F ​ _q .

Выполнение преобразования переменной t = q ^{− с} , дает

${\mathit {Z}}(V,t)=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }N_{k}{\frac {t^{k}}{k}}\right)$

как формальный степенной ряд по переменной $u$.

Эквивалентно, локальную дзета-функцию иногда определяют следующим образом:

$(1)\ \ {\mathit {Z}}(V,0)=1\,$

$(2)\ \ {\frac {d}{dt}}\log {\mathit {Z}}(V,t)=\sum _{k=1}^{\infty }N_{k}t^{k-1}\ .$

Другими словами, локальная дзета-функция Z ( V , t ) с коэффициентами в конечном поле F _q определяется как функция, логарифмическая производная которой порождает число N _k решений уравнения, определяющего V степени k . в расширении F _{q ^к} .

Формулировка

Для конечного поля F существует с точностью до только одно поле Fk _с изоморфизма

$[F_{k}:F]=k\,$,

для k = 1, 2, ... . Когда F — уникальное поле с q элементами, F _k — уникальное поле с $q^{k}$ элементы. Учитывая набор полиномиальных уравнений или алгебраическое многообразие V , определенное над F , мы можем подсчитать число

$N_{k}\,$

решений из F _k и создадим производящую функцию

$G(t)=N_{1}t+N_{2}t^{2}/2+N_{3}t^{3}/3+\cdots \,$.

Правильное определение Z ( t ) состоит в том, чтобы установить log Z равным G , поэтому

$Z=\exp(G(t))\,$

и Z (0)=1, так как G (0)=0, а Z ( t является ) априори формальным степенным рядом .

Логарифмическая производная

$Z'(t)/Z(t)\,$

равна производящей функции

$G'(t)=N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,$.

Примеры

Например, предположим, что все N _k равны 1; это происходит, например, если мы начинаем с уравнения типа X = 0, так что геометрически мы принимаем V за точку. Затем

$G(t)=-\log(1-t)$

есть разложение логарифма (при | t | < 1). В этом случае мы имеем

$Z(t)={\frac {1}{(1-t)}}\ .$

взять что-то более интересное, пусть V — проективная прямая над F. Если Если F имеет q элементов, то оно имеет q + 1 точку, включая одну точку на бесконечности . Поэтому у нас есть

$N_{k}=q^{k}+1$

и

$G(t)=-\log(1-t)-\log(1-qt)$

для | т | достаточно мал и поэтому

$Z(t)={\frac {1}{(1-t)(1-qt)}}\ .$

Первое исследование этих функций было в диссертации Эмиля Артина 1923 года . Он получил результаты для случая гиперэллиптической кривой и высказал предположения о дальнейших основных положениях теории применительно к кривым. Теорию затем разработали Ф. К. Шмидт и Гельмут Хассе . Самые ранние известные нетривиальные случаи локальных дзета-функций были неявно описаны в Карла Фридриха Гаусса , Disquisitiones Arithmeticae статья 358. Там в некоторых конкретных примерах эллиптических кривых над конечными полями, имеющими комплексное умножение , точки подсчитываются с помощью циклотомии .

Определение и некоторые примеры см. также.

Мотивы

Связь между определениями G и Z можно объяснить по-разному. (См., например, формулу бесконечного произведения для Z ниже.) На практике это делает Z рациональной функцией от t , что интересно даже в случае, когда V является эллиптической кривой над конечным полем.

Локальные Z- дзета-функции умножаются, чтобы получить глобальные $\zeta$ дзета-функции,

$\zeta =\prod Z$

Обычно они включают в себя различные конечные поля (например, все семейство полей Z / p Z, поскольку p пробегает все простые числа ).

В этих полях переменная t заменяется на p ^-с , где s — комплексная переменная, традиционно используемая в рядах Дирихле . (Подробнее см. дзета-функцию Хассе – Вейля .)

Таким образом, глобальные произведения Z в двух случаях, использованных в качестве примеров в предыдущем разделе, получаются как $\zeta (s)$ и $\zeta (s)\zeta (s-1)$ после сдачи $q=p$.

для кривых над конечными

проективных кривых C над F Для неособых что можно показать,

$Z(t)={\frac {P(t)}{(1-t)(1-qt)}}\ ,$

где P ( t полином степени 2 g где g — род C. ) — , Переписывание

$P(t)=\prod _{i=1}^{2g}(1-\omega _{i}t)\ ,$

гипотеза Римана для кривых над конечными полями состояний

$|\omega _{i}|=q^{1/2}\ .$

Например, в случае эллиптической кривой имеется два корня, и легко показать, что абсолютные значения корней равны q. ^1/2 . Теорема Хассе состоит в том, что они имеют одинаковую абсолютную ценность; и это имеет немедленные последствия для количества очков.

Андре Вейль доказал это для общего случая примерно в 1940 году ( заметка Comptes Rendus , апрель 1940 года): в последующие годы он потратил много времени на описание рассматриваемой алгебраической геометрии . Это привело его к общей гипотезе Вейля . Александр Гротендик разработал теорию схем с целью их решения.Поколение спустя Пьер Делин завершил доказательство. ( см. в этальных когомологиях Основные формулы общей теории .)

Общие формулы дзета-функции

Следствием формулы следов Лефшеца для морфизма Фробениуса является то, что

$Z(X,t)=\prod _{i=0}^{2\dim X}\det {\big (}1-t{\mbox{Frob}}_{q}|H_{c}^{i}({\overline {X}},{\mathbb {Q} }_{\ell }){\big )}^{(-1)^{i+1}}.$

Здесь $X$ — отделимая схема конечного типа над конечным полем F с $q$ элементов, а Frob _q — геометрический Фробениус, действующий на $\ell$-адические этальные когомологии с компактными носителями ${\overline {X}}$, лифт $X$ к алгебраическому замыканию поля F . Это показывает, что дзета-функция является рациональной функцией $t$.

Формула бесконечного произведения для $Z(X,t)$ является

$Z(X,t)=\prod \ (1-t^{\deg(x)})^{-1}.$

Здесь произведение распространяется по всем замкнутым точкам x из X , а deg( x ) — это степень x .Локальная дзета-функция Z(X, t) рассматривается как функция комплексной переменной s посредством замены переменные q ^-с .

В случае, когда X — многообразие V, обсуждавшееся выше, замкнутые точки — классы эквивалентности x=[P] точек P на ${\overline {V}}$, где две точки эквивалентны, если они сопряжены над F . Степень x — это степень расширения поля F порожденный координатами P . Логарифмическая производная бесконечного произведения Z(X, t), как легко видеть, является производящей функцией, обсуждавшейся выше, а именно

$N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,$.

См. также

• Список дзета-функций
• Предположения Вейля
• Эллиптическая кривая