Теорема Лефшеца о неподвижной точке

В математике теорема Лефшеца о неподвижной точке — это формула, которая подсчитывает неподвижные точки из непрерывного отображения компактного топологического пространства. $X$ в себя посредством следов индуцированных отображений на группах гомологии $X$ . Оно названо в честь Соломона Лефшеца , который впервые высказал его в 1926 году.

Подсчет осуществляется с учетом вмененной кратности в фиксированной точке, называемой индексом фиксированной точки . Слабой версии теоремы достаточно, чтобы показать, что отображение без какой-либо неподвижной точки должно иметь весьма специальные топологические свойства (например, вращение круга).

Официальное заявление

Для формальной формулировки теоремы пусть

f\colon X\rightarrow X\,

быть непрерывным отображением компактного триангулируемого пространства $X$ самому себе. Определить число Лефшеца $\Lambda _{f}$ из $f$ к

\Lambda _{f}:=\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}\mathrm {tr} (f_{*}|H_{k}(X,\mathbb {Q} )),

попеременная (конечная) сумма матричных следов линейных отображений индуцированных , $f$ на $H_{k}(X,\mathbb {Q} )$ , гомологии особые группы $X$ с рациональными коэффициентами.

Простая версия теоремы Лефшеца о неподвижной точке гласит: если

\Lambda _{f}\neq 0\,

затем $f$ имеет хотя бы одну неподвижную точку, т. е. существует хотя бы одна $x$ в $X$ такой, что $f(x)=x$ . Фактически, поскольку число Лефшеца было определено на уровне гомологии, вывод можно расширить и сказать, что любое отображение гомотопное , $f$ также имеет фиксированную точку.

Однако обратите внимание, что обратное в общем случае неверно: $\Lambda _{f}$ может быть нулем, даже если $f$ имеет неподвижные точки, как и в случае тождественного отображения на нечетномерных сферах.

Эскиз доказательства

Во-первых, применяя теорему симплициальной аппроксимации , можно показать, что если $f$ не имеет неподвижных точек, то (возможно, после разделения $X$ ) $f$ гомотопно симплициальному отображению без неподвижных точек (т. е. оно переводит каждый симплекс в другой симплекс). Это означает, что диагональные значения матриц линейных отображений, индуцированных на симплициальном цепном комплексе $X$ должно быть все равно нулю. Тогда отметим, что, вообще говоря, число Лефшеца можно вычислить и с помощью попеременной суммы матричных следов вышеупомянутых линейных отображений (это верно почти по той же причине, по которой эйлерова характеристика имеет определение в терминах групп гомологий см. ниже связь с эйлеровой характеристикой ). В частном случае симплициального отображения без неподвижных точек все диагональные значения равны нулю, и, следовательно, все следы равны нулю.

Теорема Лефшеца – Хопфа

Более сильная форма теоремы, также известная как теорема Лефшеца–Хопфа , утверждает, что, если $f$ имеет лишь конечное число неподвижных точек, то

\sum _{x\in \mathrm {Fix} (f)}\mathrm {ind} (f,x)=\Lambda _{f},

где $\mathrm {Fix} (f)$ представляет собой множество неподвижных точек $f$ , и $\mathrm {ind} (f,x)$ обозначает индекс неподвижной точки $x$ . ^[1] Из этой теоремы вытекает теорема Пуанкаре–Хопфа для векторных полей.

Связь с эйлеровой характеристикой

Число Лефшеца тождественного отображения на конечном комплексе CW можно легко вычислить, осознав, что каждое $f_{\ast }$ можно рассматривать как единичную матрицу, и поэтому каждый следовой термин представляет собой просто размерность соответствующей группы гомологии. Таким образом, число Лефшеца тождественного отображения равно знакопеременной сумме чисел Бетти пространства, которая, в свою очередь, равна эйлеровой характеристике $\chi (X)$ . Таким образом, мы имеем

\Lambda _{\mathrm {id} }=\chi (X).\

Связь с теоремой Брауэра о неподвижной точке

Теорема Лефшеца о неподвижной точке обобщает теорему Брауэра о неподвижной точке , которая утверждает, что каждое непрерывное отображение из $n$ -мерный замкнутый единичный диск $D^{n}$ к $D^{n}$ должна иметь хотя бы одну неподвижную точку.

Это можно увидеть следующим образом: $D^{n}$ компактен и триангулируем, все его группы гомологии, кроме $H_{0}$ равны нулю, и каждое непрерывное отображение $f\colon D^{n}\to D^{n}$ вызывает карту идентичности $f_{*}\colon H_{0}(D^{n},\mathbb {Q} )\to H_{0}(D^{n},\mathbb {Q} )$ , след которого один; все это вместе означает, что $\Lambda _{f}$ не равно нулю для любого непрерывного отображения $f\colon D^{n}\to D^{n}$ .

Исторический контекст

Лефшец представил свою теорему о неподвижной точке в ( Lefschetz 1926 ). В центре внимания Лефшеца были не фиксированные точки карт, а скорее то, что сейчас называют точками совпадения карт.

Учитывая две карты $f$ и $g$ из ориентируемого многообразия $X$ к ориентируемому многообразию $Y$ той же размерности, совпадения Лефшеца число $f$ и $g$ определяется как

\Lambda _{f,g}=\sum (-1)^{k}\mathrm {tr} (D_{X}\circ g^{*}\circ D_{Y}^{-1}\circ f_{*}),

где $f_{*}$ как указано выше, $g_{*}$ — гомоморфизм, индуцированный $g$ на группах когомологий с рациональными коэффициентами и $D_{X}$ и $D_{Y}$ являются изоморфизмами двойственности Пуанкаре для $X$ и $Y$ , соответственно.

Лефшец доказал, что если число совпадений не равно нулю, то $f$ и $g$ иметь точку совпадения. В своей статье он отметил, что позволив $X=Y$ и позволяя $g$ быть тождественным отображением, дает более простой результат, который мы теперь знаем как теорему о неподвижной точке.

Фробениус

Позволять $X$ — многообразие, определенное над конечным полем $k$ с $q$ элементы и пусть ${\bar {X}}$ быть базовым изменением $X$ к алгебраическому замыканию $k$ . Фробениуса Эндоморфизм ${\bar {X}}$ (часто геометрический Фробениус или просто Фробениус ), обозначаемый $F_{q}$ , отображает точку с координатами $x_{1},\ldots ,x_{n}$ до точки с координатами $x_{1}^{q},\ldots ,x_{n}^{q}$ . Таким образом, неподвижные точки $F_{q}$ это именно точки $X$ с координатами в $k$ ; множество таких точек обозначается $X(k)$ . Формула следа Лефшеца справедлива в этом контексте и гласит:

\#X(k)=\sum _{i}(-1)^{i}\mathrm {tr} (F_{q}^{*}|H_{c}^{i}({\bar {X}},\mathbb {Q} _{\ell })).

Эта формула включает в себя след Фробениуса на этальных когомологиях с компактными носителями ${\bar {X}}$ с ценностями в области $\ell$ -адические числа, где $\ell$ является простым взаимно простым числом $q$ .

Если $X$ гладкая и равномерная , эту формулу можно переписать в терминах арифметики Фробениуса $\Phi _{q}$ , который действует как инверсия $F_{q}$ по когомологиям:

\#X(k)=q^{\dim X}\sum _{i}(-1)^{i}\mathrm {tr} ((\Phi _{q}^{-1})^{*}|H^{i}({\bar {X}},\mathbb {Q} _{\ell })).

В этой формуле используются обычные когомологии, а не когомологии с компактными носителями.

Формула следа Лефшеца также может быть обобщена на алгебраические стеки над конечными полями.

См. также

Примечания

^ Дольд, Альбрехт (1980). Лекции по алгебраической топологии . Том. 200 (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-10369-1 . МР 0606196 . , Предложение VII.6.6.

Ссылки

Лефшец, Соломон (1926). «Пересечения и преобразования комплексов и многообразий» . Труды Американского математического общества . 28 (1): 1–49. дои : 10.2307/1989171 . JSTOR 1989171 . МР 1501331 .
Лефшец, Соломон (1937). «О формуле фиксированной точки». Анналы математики . 38 (4): 819–822. дои : 10.2307/1968838 . JSTOR 1968838 . МР 1503373 .

Внешние ссылки

«Формула Лефшеца» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Дольд, Альбрехт (1980). Лекции по алгебраической топологии . Том. 200 (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-10369-1 . МР 0606196 . , Предложение VII.6.6.

[1]