Дзета-функция Лефшеца

В математике Лефшеца теории дзета-функция — это инструмент, используемый в топологической периодической теории и неподвижной точки , а также в динамических системах . Учитывая непрерывное отображение $f\colon X\to X$дзета-функция определяется как формальный ряд

$\zeta _{f}(t)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }L(f^{n}){\frac {t^{n}}{n}}\right),$

где $L(f^{n})$ – Лефшеца число $n$-я итерация ​ $f$. Эта дзета-функция заслуживает внимания в топологической теории периодических точек, поскольку она представляет собой единственный инвариант, содержащий информацию обо всех итерациях $f$.

Примеры

Карта личности на $X$ имеет дзета-функцию Лефшеца

${\frac {1}{(1-t)^{\chi (X)}}},$

где $\chi (X)$ является эйлеровой характеристикой $X$, т. е. число Лефшеца тождественного отображения.

В качестве менее тривиального примера позвольте $X=S^{1}$ — единичный круг , и пусть $f\colon S^{1}\to S^{1}$ быть отражением по оси x , то есть $f(\theta )=-\theta$. Затем $f$ имеет номер Лефшеца 2, а $f^{2}$ является тождественным отображением, которое имеет число Лефшеца 0. Аналогично, все нечетные итерации имеют число Лефшеца 2, а все четные итерации имеют число Лефшеца 0. Следовательно, дзета-функция $f$ является

${\begin{aligned}\zeta _{f}(t)&=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2t^{2n+1}}{2n+1}}\right)\\&=\exp \left(\left\{2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n}}\right\}-\left\{2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{2n}}\right\}\right)\\&=\exp \left(-2\log(1-t)+\log(1-t^{2})\right)\\&={\frac {1-t^{2}}{(1-t)^{2}}}\\&={\frac {1+t}{1-t}}\end{aligned}}$

Формула

Если f является непрерывным отображением на компактном многообразии X размерности n (или, вообще говоря, на любом компактном многограннике), дзета-функция задается формулой

$\zeta _{f}(t)=\prod _{i=0}^{n}\det(1-tf_{\ast }|H_{i}(X,\mathbf {Q} ))^{(-1)^{i+1}}.$

Таким образом, это рациональная функция. Полиномы, входящие в числитель и знаменатель, по сути являются характеристическими полиномами отображения, индуцированного f в различных пространствах гомологии.

Соединения

Эта производящая функция по существу является алгебраической формой дзета-функции Артина-Мазура , которая дает геометрическую информацию о фиксированных и периодических точках f .

См. также

• Теорема Лефшеца о неподвижной точке
• Дзета-функция Артина – Мазура
• Дзета-функция Аллеи

Ссылки

• Фельштын, Александр (2000), «Динамические дзета-функции, теория Нильсена и кручение Райдемайстера», Мемуары Американского математического общества , 147 (699), arXiv : chao-dyn/9603017 , MR   1697460