Дзета-функция Артина – Мазура

В математике Артина -Мазура дзета-функция , названная в честь Майкла Артина и Барри Мазура , — это функция, которая используется для изучения повторяющихся функций , которые встречаются в динамических системах и фракталах .

Он определяется из заданной функции $f$ как формальный степенной ряд

$\zeta _{f}(z)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl |}\operatorname {Fix} (f^{n}){\bigr |}{\frac {z^{n}}{n}}\right),$

где $\operatorname {Fix} (f^{n})$ представляет собой множество неподвижных точек $n$итерация функции $f$, и $|\operatorname {Fix} (f^{n})|$ — количество фиксированных точек (т.е. мощность этого набора).

Обратите внимание, что дзета-функция определена только в том случае, если набор неподвижных точек конечен для каждого $n$. Это определение формально, поскольку ряд не всегда имеет положительный радиус сходимости .

Дзета-функция Артина-Мазура инвариантна относительно топологического сопряжения .

Теорема Милнора -Терстона утверждает, что дзета-функция Артина-Мазура интервального отображения $f$ является обратной величиной замешивания определителя $f$.

Аналоги

Дзета-функция Артина-Мазура формально аналогична локальной дзета-функции , когда диффеоморфизм на компактном многообразии заменяет отображение Фробениуса для алгебраического многообразия над конечным полем .

Дзета -функция Ихара графика может быть интерпретирована как пример дзета-функции Артина – Мазура.

См. также

• число Лефшеца
• Дзета-функция Лефшеца

Ссылки

• Артин, Майкл ; Мазур, Барри (1965), «О периодических точках», Annals of Mathematics , Вторая серия, 81 (1), Annals of Mathematics: 82–99, doi : 10.2307/1970384 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1970384 , MR   0176482
• Рюэль, Дэвид (2002), «Динамические дзета-функции и операторы переноса» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 49 (8): 887–895, MR   1920859
• Котани, Мотоко ; Сунада, Тошикадзу (2000), «Дзета-функции конечных графов», J. Math. наук. унив. Токио , 7 :7–25, CiteSeerX   10.1.1.531.9769
• Террас, Одри (2010), Дзета-функции графов: прогулка по саду , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 128, Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-11367-0 , Збл   1206.05003