Индекс фиксированной точки

В математике индекс неподвижной точки — это концепция топологической теории неподвижной точки и, в частности, теории Нильсена . Индекс фиксированной точки можно рассматривать как измерение множественности фиксированных точек.

Индекс можно легко определить в рамках комплексного анализа : пусть f ( z ) — голоморфное отображение на комплексной плоскости, и пусть — _z0 фиксированная точка f . Тогда функция f ( z ) − z голоморфна и имеет изолированный нуль в точке z ₀ . Мы определяем индекс неподвижной точки f в точке z ₀ , обозначаемый i ( f , z ₀ ), как кратность нуля функции f ( z ) − z в точке z ₀ .

В реальном евклидовом пространстве индекс фиксированной точки определяется следующим образом: если x0 _— изолированная фиксированная точка f , то пусть g — функция, определяемая формулой

$g(x)={\frac {x-f(x)}{||x-f(x)||}}.$

Тогда g имеет изолированную особенность в точке и _x0 отображает границу некоторой удаленной окрестности точки x0 _в единичную сферу. определяем i ( f , x0 _Мы ) как Брауэра степень отображения, индуцированного на некоторой подходящей небольшой сфере вокруг x0 _g .

Теорема Лефшеца–Хопфа.

Важность индекса неподвижной точки во многом обусловлена ​​его ролью в теореме Лефшеца – Хопфа , которая гласит:

$\sum _{x\in \mathrm {Fix} (f)}\mathrm {ind} (f,x)=\Lambda _{f},$

где Fix( f множество неподвижных точек f , а Λ _f — число Лефшеца f ) — .

Поскольку величина в левой части приведенного выше выражения явно равна нулю, когда f не имеет неподвижных точек, из теоремы Лефшеца – Хопфа тривиально следует теорема Лефшеца о неподвижной точке .

Ссылки

• Роберт Ф. Браун: Теория фиксированной точки , в: И. М. Джеймс, История топологии , Амстердам, 1999, ISBN   0-444-82375-1 , 271–299.