теория Нильсена
Теория Нильсена — это раздел математических исследований, берущий свое начало в топологической теории неподвижной точки . Ее центральные идеи были развиты датским математиком Якобом Нильсеном и носят его имя.
развитая при изучении так называемого минимального числа отображения f компакта MF Теория , в себя, обозначается [ f ] . Это определяется как:
![{\displaystyle {\mathit {MF}}[f]=\min\{\#\mathrm {Fix} (g)\,|\,g\sim f\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/752b4f858271a6ab93fedb9fe885fb7b9b1a821e)
где ~ указывает гомотопию отображений, а #Fix( g ) указывает количество неподвижных точек g . Во времена Нильсена минимальное число было очень трудно вычислить, и оно остается таковым и сегодня. Подход Нильсена состоит в том, чтобы сгруппировать множество фиксированных точек в классы, которые считаются «существенными» или «несущественными» в зависимости от того, могут ли они быть «удалены» гомотопией.
Исходная формулировка Нильсена эквивалентна следующему:Определим отношение эквивалентности на множестве неподвижных точек автоморфизма f в пространстве X . Мы говорим, что x эквивалентен y тогда и только тогда, когда существует путь c от x до y, причем f ( c ) гомотопен c в качестве путей. Классы эквивалентности относительно этого отношения называются классами Нильсена f N , а число Нильсена ( f ) определяется как количество классов Нильсена, имеющих ненулевую сумму индексов фиксированной точки .
Нильсен доказал, что
![{\displaystyle N(f)\leq {\mathit {MF}}[f],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cbe6d2c6654efdcf07f947aab854860bd78756c)
что делает его инвариант хорошим инструментом для оценки гораздо более сложного MF [ f ]. Это немедленно приводит к тому, что сейчас известно как теорема Нильсена о неподвижной точке: любое отображение f имеет как минимум N(f) неподвижных точек.
Из-за своего определения в терминах индекса неподвижной точки число Нильсена тесно связано с числом Лефшеца . Действительно, вскоре после первоначальной работы Нильсена два инварианта были объединены в одно «обобщенное число Лефшеца» (недавно названное следом Райдемайстера ) Векеном и Райдемайстером .
Библиография [ править ]
- Фенхель, Вернер ; Нильсен, Якоб (2003). Асмус Л. Шмидт (ред.). Разрывные группы изометрий в гиперболической плоскости . Де Грюйтер Исследования по математике. Том. 29. Берлин: Вальтер де Грюйтер и компания.
Внешние ссылки [ править ]
- Обзорная статья Роберта Ф. Брауна по теории Нильсена в Topology Atlas